Velocidade angular

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Em (a) da Figura 01 há um movimento ao longo da circunferência C. Os pontos A e B correspondem a um arco infinitesimal de ângulo dφ. Pela definição de ângulo, esse arco é igual a R dφ. Considerando agora a definição de velocidade, em termos escalares,

v = d (R dφ) / dt. Mas, para a circunferência, R é constante. Assim, v = R dφ / dt #A.1#.

O termo ω = dφ / dt #B.1# é denominado velocidade angular correspondente ao movimento circular. Ela indica a variação do deslocamento angular em relação ao tempo.

Fig 01

Pode-se então escrever

v = ω R #C.1#.

No aspecto vetorial, supõe-se uma situação genérica como em (b) da mesma figura. O vetor r de posição é dado em relação a uma origem qualquer 0 na vertical que passa pelo centro do círculo.

Então o raio R é dado por

R = r sen β. Substituindo na anterior,

v = ω r sen β.

Essa igualdade sugere um produto vetorial. Portanto, pode-se definir velocidade angular como um vetor ω tal que

v = ω × r #D.1#.

Pelo produto vetorial, conclui-se que o vetor ω deve ser perpendicular ao círculo. E a simetria da questão indica que ele deve passar pelo centro. Naturalmente, a definição só é válida para movimento circular, r e β constantes conforme (b) da figura.

A unidade básica de velocidade angular no Sistema Internacional (SI) é o radiano por segundo (rad/s). Na prática, é disseminado o uso de rotação por minuto (rpm), equivalente a (2 π / 60) ou (π / 30) rad/s (no caso de rpm, é comum o símbolo n no lugar de ω).

Movimento circular uniforme

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Um movimento circular é dito uniforme se a velocidade angular é constante. Considerando as igualdades do tópico anterior, pode-se deduzir que isso implica módulo da velocidade constante. O vetor v em si não é constante porque sua direção varia continuamente. Apenas a intensidade é constante.

Com ω invariável, pode-se dispensar relações infinitesimais e usar intervalos finitos, ω = Δφ / Δt. Supondo valores iniciais nulos para ângulo e tempo, estas são as igualdades comuns:

ω = φ / t

φ = ω t

#A.1#

Se considerado um valor inicial não nulo para o ângulo, o resultado é uma fórmula similar à do deslocamento no movimento retilíneo uniforme:

φ = φ₀ + ω t #B.1#.

Existem ainda dois importantes parâmetros para esse tipo de movimento, cujas relações podem ser facilmente deduzidas a partir das igualdades anteriores:

Nome e símbolo usual	Definição	Relação com ω	Relação com o outro
Período (P)	Tempo de uma rotação completa	P = 2 π / ω	P = 1 / f	#C.1#
Freqüência (f)	Rotações por unidade de tempo	f = ω / (2 π)	f = 1 / P	#D.1#

Por ser um intervalo de tempo, a unidade do período é, naturalmente, o segundo (s) no Sistema Internacional. Sendo o inverso do período, a unidade da freqüência deve ser 1/s ou s^-1, que é denominado Hertz (Hz) no Sistema Internacional.

Aceleração no movimento circular

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Em página anterior foi visto que, de forma genérica, o vetor aceleração não tem necessariamente a mesma direção do vetor velocidade. Também visto que, numa análise mais abrangente, o vetor aceleração é decomposto nas parcelas tangencial (mesma linha da velocidade) e normal (perpendicular à velocidade). A Figura 01 (a) representa isso para um movimento circular.

E as fórmulas dessa página podem ser usadas para este caso particular (considerando valores escalares):

a_T = dv / dt = d(ωR) / dt = R dω / dt #A.1#.

a_N = v² / R = (ωR)² / R = ω² R #B.1#.

Fig 01

Se o movimento é circular uniforme, ω = constante. E, conforme igualdade anterior #A.1#, a aceleração tangencial a_T deve ser nula porque dω/dt = 0 nesse caso.

Portanto, no movimento circular uniforme só há o componente normal da aceleração, ou seja, a = a_N, conforme indicado em (b) da mesma figura.

O componente normal da aceleração é também denominado aceleração centrípeta, que, obviamente, é a única aceleração do movimento circular uniforme.

De outra forma, a aceleração no movimento circular uniforme pode ser deduzida a partir do produto vetorial v = ω x r. Por definição a = dv / dt. Sendo ω constante, ocorre a = ω x dr / dt = ω x v. Em (b) da figura pode-se notar que esse produto vetorial deve ser um vetor normal ao vetor da velocidade.

A aceleração angular α é definida de forma similar à da aceleração convencional:

α = dω / dt #C.1#.

No Sistema Internacional, a unidade básica de aceleração angular é o radiano por segundo por segundo (rad/s²).

Um movimento circular é dito uniformemente acelerado se α é constante. E as relações de velocidade angular e deslocamento angular são dadas pelas igualdades abaixo, que podem ser facilmente deduzidas por meios semelhantes aos do movimento retilíneo uniformemente acelerado:

ω = ω0 + α t #D.1#

φ = φ0 + ω0 t + (1/2) α t2 #E.1#

Exemplo I

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No conceito prático de tempo, a Terra dá uma revolução completa em um dia ou 24 x 60 x 60 = 86.400 segundos. Em princípio, pode-se imaginar que este seja o período de rotação da Terra e calcular sua velocidade angular de acordo com a igualdade #C.1# do tópico Movimento circular uniforme (P = 2 π / ω).

Fig 01

Entretanto, o período real é ligeiramente menor. A Figura 01 deste tópico procura esclarecer o fato (não há nenhuma escala. As proporções estão exageradas por questão de clareza).

O dia prático, também denominado dia solar médio, representa o intervalo entre sucessivas observações do Sol na mesma direção. Mas a Terra não é estática em relação ao Sol. Ela descreve uma órbita em torno dele.

Supõe-se que, em um determinado instante, a Terra está na posição O e um observador vê o Sol na direção OA.

Depois de uma revolução completa em torno do seu eixo, a Terra terá se deslocado para uma posição O' na sua órbita. Desde que o giro foi de 360º, a direção de observação O'A' é paralela à anterior OA. Mas isso significa que o Sol não será mais visto na mesma direção. Assim, para observar o Sol na mesma direção aparente (O'A''), a Terra deverá girar um pouco além do seu período real de rotação.

O período real de rotação da Terra, denominado dia sideral, é aproximadamente P ≈ 86.164 segundos. Usando a fórmula mencionada (P = 2 π / ω ou ω = 2 π / P), o resultado é ω_Terra ≈ 7,292 10⁻⁵ rad/s.

Exemplo II

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Neste exemplo, deseja-se calcular a velocidade e a aceleração de um ponto qualquer da superfície terrestre.

Fig 01

É usado o valor anterior da velocidade angular, isto é,

ω_Terra ≈ 7,292 10^-5 rad/s.

A Terra é considerada esférica e raio R_Terra ≈ 6,372 10⁶ m.

Para um ponto A na linha do equador, o raio é

OA = R_Terra. Para uma latitude genérica β (ponto B), o raio é

O'B = R_Terra cos β.

Conforme #C.1# do tópico Velocidade angular, a velocidade tangencial para um ponto genérico é:

v = ω R = ω_Terra R_Terra cos β ≈ 465 cos β.

Desde que o movimento é uniforme, há apenas aceleração normal, dada pela igualdade #B.1# do tópico Aceleração no movimento circular:

a_N = ω_Terra² R_Terra cos β ≈ 3,39 10^-2 cos β.

A conclusão óbvia é que velocidade e aceleração variam com a latitude. Valores máximos estão na linha do equador (v_A na figura) e diminuem gradativamente (v_B) com o aumento da latitude β, chegando a valores nulos nos pólos.