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Cinemática I-30


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Movimento com aceleração constante

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Se não levada em conta a resistência do ar, a única força que atua em um corpo que se move próximo da superfície terrestre é o seu peso. Supõe-se também, é claro, que o corpo não possui nenhum meio próprio de propulsão.

Conforme segunda lei de Newton, a força atuante (peso) é dada por P = m g, onde m é a massa do corpo e g a aceleração da gravidade.

A Terra tem um formato aproximadamente esférico e, em teoria, as forças dos pesos devem convergir para o centro. E a ação da gravidade deve variar com a altitude. Entretanto, considerando o tamanho do planeta, em muitos casos práticos podemos desprezar as variações. Nessas hipóteses, uma porção da superfície terrestre é suposta plana e a aceleração da gravidade, invariável, ou seja, o corpo se move com aceleração constante.

Nessas condições, pode-se obter aproximações simples para diversos casos práticos, como a queda livre de um corpo, o arremesso de um corpo por uma pessoa, um projétil disparado por uma arma e outros similares.

A Figura 01 mostra os conceitos básicos de velocidade vetorial que serão aqui empregados.

Vetores deslocamento, velocidade e aceleração de um corpo em movimento
Fig 01
Um corpo segue uma trajetória genérica dada pela curva indicada. Em um determinado instante, ele está na posição P(x,y). O vetor correspondente a essa posição é r. Os componentes de r são as coordenadas de P.

rx = x e ry = y #A.1#.

A velocidade v é um vetor tangente à trajetória e é dada por

v = dr / dt #B.1#, onde t é o tempo.

A aceleração é o vetor a dado por a = dv / dt #C.1#. Não tem necessariamente o mesmo alinhamento da velocidade.

A Figura 02 dá um diagrama típico de posições. O nível do solo é suposto coincidente com o eixo X e o corpo é lançado da posição inicial A (altura y0) com velocidade v0 e ângulo α com a horizontal.

Desde que o corpo está sujeito apenas à gravidade e esta é supostamente constante, usa-se, em vez de a, o símbolo g (aceleração da gravidade). E g é um vetor constante em qualquer posição do corpo conforme figura.

De #C.1#, dv = g dt. Integrando, ∫ dv = g ∫ dt porque g é constante. A solução das integrais requer um intervalo. Seja o tempo de 0 a t e a velocidade de v0 a v. Assim, vv0 = g t ou

v = v0 + g t #D.1#.

De #B.1#, dr = v dt. Integrando e substituindo o valor de v anterior, ∫ dr = ∫ (v0 + g t) dt. Resolvendo,

r = r0 + v0 t + (1/2) g t2 #E.1#.

Essa é a equação genérica da posição do corpo (vetor r) em relação ao tempo, que corresponde a uma trajetória parabólica conforme indicado na figura. Notar que, sendo g constante, o caminho depende apenas da velocidade inicial v0 e da posição inicial r0 (ponto A da figura).

Curva de deslocamento genérica para um movimento com aceleração constante
Fig 02
Voltando à igualdade #D.1#, pode-se separar os componentes horizontais e verticais dos vetores:

vx + vy = v0x + v0y + gx t + gy t.

Mas a aceleração da gravidade é vertical. Portanto,

gx = 0 e g = gy.

vx + vy = v0x + v0y + gy t. Separando,

vx = v0x #F.1#.

vy = v0y + g t #G.1#.

Essas igualdades mostram que a velocidade horizontal é constante e igual a v0 e a velocidade vertical varia linearmente com o tempo (a primeira conclusão é resultado de g não ter componente horizontal).

Procedimento similar é usado para a posição (equação #B.1#):

rx + ry = r0x + r0y + v0x t + v0y t + (1/2) g t2. Mas r0x = 0 e g é vertical, similar ao anterior.

rx = v0x t #H.1#.

ry = r0y + v0y t + (1/2) g t2 #I.1#.

As relações acima estão em sintonia com as anteriores: o movimento horizontal é uniforme e o vertical, uniformemente acelerado.

As igualdades anteriores (de #F.1# a #I.1#) permitem trabalhar com escalares porque são componentes no mesmo alinhamento. Deverá ser adotado sinal negativo para g porque o vetor é dirigido para baixo.

Considerando as relações:

v0x = v0 cos α v0y = v0 sen α r0y = y0 rx = x ry = y #J.1#

Obtém-se as igualdades:

vx = v0 cos α vy = v0 sen α − g t x = v0 (cos α) t y = y0 + v0 (sen α) t − (1/2) g t2 #K.1#

Em B, o corpo atinge a máxima altitude. Nesse ponto vy = 0. E, com a segunda igualdade de #K.1#, o tempo pode ser determinado: tB = v0 sen α / g. Substituindo na quarta igualdade,

Altura máxima = yB = y0 + v0 sen α v0 sen α / g − (1/2) g v02 sen2 α / g2 . Ou

yB = y0 + v02 sen2 α / (2 g) #L.1#.

Na terceira igualdade de #K.1#, pode-se fazer t = x / (v0 cos α). Substituindo na quarta igualdade,

y = y0 + v0 (sen α) x / (v0 cos α) − (1/2) g x2 / (v02 cos2 α).

y = y0 + (tan α ) x − [ g / (2 v02 cos2 α) ] x2 #M.1#.

Essa é a trajetória (parábola) do corpo. Se, por exemplo, se deseja saber a distância xE, basta resolver a equação para y = − y0.

A simetria da curva permite concluir que o tempo para atingir o ponto D é o dobro do tempo (já visto) de B:

tD = 2 tB = 2 v0 sen α / g. Substituindo na terceira igualdade de #K.1#,

xD = v0 (cos α) 2 v0 sen α / g = 2 v02 (sen α cos α) / g = v02 (sen 2α) / g #N.1#.

Isso demonstra que o máximo alcance é obtido com α = 45º. Mas essas considerações são para y0 = 0. Se y0 > 0, deve ser estudada a distância xE.

Casos particulares de movimentos com aceleração constante
Fig 03
Alguns exemplos

A Figura 03 mostra alguns casos particulares em relação ao diagrama genérico anterior.

Em (a), o corpo é lançado na horizontal.

Em (b), com v0x = v0y = 0 ou v0 = 0, há a queda livre de um corpo.

Em (c), o corpo é lançado verticalmente para cima.

Em (d) ocorre a situação do tópico anterior, com y0 = 0, ou seja, o corpo é lançado ao nível do solo.

Um exemplo numérico para a última hipótese: seja um projétil disparado por uma arma, com ângulo α = 35º. Pode-se estimar v0 = 250 m/s.


Conforme #N.1#, o alcance é xD = 2502 sen (2 35) / 9,81 ≈ 5897 m.

A altura máxima, segundo #L.1#, é yB = 0 + 2502 sen2 35 / (2 9,81) ≈ 1048 m.

Deve-se levar em conta que a velocidade é alta e, portanto, o efeito do atrito com o ar é significativo. Resultados práticos devem ser inferiores.

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