Movimento com aceleração constante

Topo | Fim

Se não levada em conta a resistência do ar, a única força que atua em um corpo que se move próximo da superfície terrestre é o seu peso. Supõe-se também, é claro, que o corpo não possui nenhum meio próprio de propulsão.

Conforme segunda lei de Newton, a força atuante (peso) é dada por P = m g, onde m é a massa do corpo e g a aceleração da gravidade.

A Terra tem um formato aproximadamente esférico e, em teoria, as forças dos pesos devem convergir para o centro. E a ação da gravidade deve variar com a altitude. Entretanto, considerando o tamanho do planeta, em muitos casos práticos podemos desprezar as variações. Nessas hipóteses, uma porção da superfície terrestre é suposta plana e a aceleração da gravidade, invariável, ou seja, o corpo se move com aceleração constante.

Nessas condições, pode-se obter aproximações simples para diversos casos práticos, como a queda livre de um corpo, o arremesso de um corpo por uma pessoa, um projétil disparado por uma arma e outros similares.

A Figura 01 mostra os conceitos básicos de velocidade vetorial que serão aqui empregados.

Fig 01

Um corpo segue uma trajetória genérica dada pela curva indicada. Em um determinado instante, ele está na posição P(x,y). O vetor correspondente a essa posição é r. Os componentes de r são as coordenadas de P.

r_x = x e r_y = y #A.1#.

A velocidade v é um vetor tangente à trajetória e é dada por

v = dr / dt #B.1#, onde t é o tempo.

A aceleração é o vetor a dado por a = dv / dt #C.1#. Não tem necessariamente o mesmo alinhamento da velocidade.

A Figura 02 dá um diagrama típico de posições. O nível do solo é suposto coincidente com o eixo X e o corpo é lançado da posição inicial A (altura y₀) com velocidade v₀ e ângulo α com a horizontal.

Desde que o corpo está sujeito apenas à gravidade e esta é supostamente constante, usa-se, em vez de a, o símbolo g (aceleração da gravidade). E g é um vetor constante em qualquer posição do corpo conforme figura.

De #C.1#, dv = g dt. Integrando, ∫ dv = g ∫ dt porque g é constante. A solução das integrais requer um intervalo. Seja o tempo de 0 a t e a velocidade de v₀ a v. Assim, v − v₀ = g t ou

v = v₀ + g t #D.1#.

De #B.1#, dr = v dt. Integrando e substituindo o valor de v anterior, ∫ dr = ∫ (v₀ + g t) dt. Resolvendo,

r = r₀ + v₀ t + (1/2) g t² #E.1#.

Essa é a equação genérica da posição do corpo (vetor r) em relação ao tempo, que corresponde a uma trajetória parabólica conforme indicado na figura. Notar que, sendo g constante, o caminho depende apenas da velocidade inicial v₀ e da posição inicial r₀ (ponto A da figura).

Fig 02

Voltando à igualdade #D.1#, pode-se separar os componentes horizontais e verticais dos vetores:

v_x + v_y = v_0x + v_0y + g_x t + g_y t.

Mas a aceleração da gravidade é vertical. Portanto,

g_x = 0 e g = g_y.

v_x + v_y = v_0x + v_0y + g_y t. Separando,

v_x = v_0x #F.1#.

v_y = v_0y + g t #G.1#.

Essas igualdades mostram que a velocidade horizontal é constante e igual a v₀ e a velocidade vertical varia linearmente com o tempo (a primeira conclusão é resultado de g não ter componente horizontal).

Procedimento similar é usado para a posição (equação #B.1#):

r_x + r_y = r_0x + r_0y + v_0x t + v_0y t + (1/2) g t². Mas r_0x = 0 e g é vertical, similar ao anterior.

r_x = v_0x t #H.1#.

r_y = r_0y + v_0y t + (1/2) g t² #I.1#.

As relações acima estão em sintonia com as anteriores: o movimento horizontal é uniforme e o vertical, uniformemente acelerado.

As igualdades anteriores (de #F.1# a #I.1#) permitem trabalhar com escalares porque são componentes no mesmo alinhamento. Deverá ser adotado sinal negativo para g porque o vetor é dirigido para baixo.

Considerando as relações:

v0x = v0 cos α

v0y = v0 sen α

r0y = y0

rx = x

ry = y

#J.1#

Obtém-se as igualdades:

vx = v0 cos α

vy = v0 sen α − g t

x = v0 (cos α) t

y = y0 + v0 (sen α) t − (1/2) g t2

#K.1#

Em B, o corpo atinge a máxima altitude. Nesse ponto v_y = 0. E, com a segunda igualdade de #K.1#, o tempo pode ser determinado: t_B = v₀ sen α / g. Substituindo na quarta igualdade,

Altura máxima = y_B = y₀ + v₀ sen α v₀ sen α / g − (1/2) g v₀² sen² α / g² . Ou

y_B = y₀ + v₀² sen² α / (2 g) #L.1#.

Na terceira igualdade de #K.1#, pode-se fazer t = x / (v₀ cos α). Substituindo na quarta igualdade,

y = y₀ + v₀ (sen α) x / (v₀ cos α) − (1/2) g x² / (v₀² cos² α).

y = y₀ + (tan α ) x − [ g / (2 v₀² cos² α) ] x² #M.1#.

Essa é a trajetória (parábola) do corpo. Se, por exemplo, se deseja saber a distância x_E, basta resolver a equação para y = − y₀.

A simetria da curva permite concluir que o tempo para atingir o ponto D é o dobro do tempo (já visto) de B:

t_D = 2 t_B = 2 v₀ sen α / g. Substituindo na terceira igualdade de #K.1#,

x_D = v₀ (cos α) 2 v₀ sen α / g = 2 v₀² (sen α cos α) / g = v₀² (sen 2α) / g #N.1#.

Isso demonstra que o máximo alcance é obtido com α = 45º. Mas essas considerações são para y₀ = 0. Se y₀ > 0, deve ser estudada a distância x_E.

Fig 03

Alguns exemplos

A Figura 03 mostra alguns casos particulares em relação ao diagrama genérico anterior.

Em (a), o corpo é lançado na horizontal.

Em (b), com v_0x = v_0y = 0 ou v₀ = 0, há a queda livre de um corpo.

Em (c), o corpo é lançado verticalmente para cima.

Em (d) ocorre a situação do tópico anterior, com y₀ = 0, ou seja, o corpo é lançado ao nível do solo.

Um exemplo numérico para a última hipótese: seja um projétil disparado por uma arma, com ângulo α = 35º. Pode-se estimar v₀ = 250 m/s.


Conforme #N.1#, o alcance é x_D = 250² sen (2 35) / 9,81 ≈ 5897 m.

A altura máxima, segundo #L.1#, é y_B = 0 + 250² sen² 35 / (2 9,81) ≈ 1048 m.

Deve-se levar em conta que a velocidade é alta e, portanto, o efeito do atrito com o ar é significativo. Resultados práticos devem ser inferiores.