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Cinemática I-20


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Movimento retilíneo

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Em página anterior, foi dado que o vetor velocidade é sempre tangente à curva do caminho percorrido pelo corpo. Se a curva é uma reta, um segmento tangente coincide com a mesma. Portanto, o vetor velocidade está sobre essa reta.

Também visto que o componente normal da aceleração é igual a aN = (v2/RC) N, onde RC é o raio de curvatura do caminho. Se ele é reto, RC = ∞. Isso significa que o componente normal é nulo, restando apenas o tangencial. Assim, o vetor aceleração também é coincidente com a reta.

Se o caminho coincide com um eixo do sistema de coordenadas, por exemplo X, o vetor posição r está também sobre esse eixo. Com todos os vetores na mesma linha, pode-se dispensar a notação vetorial e trabalhar apenas com escalares no caso de movimento retilíneo. Assim, são usados x em vez de r, v em vez de v e a no lugar de a.

v = dx / dt #A.1# a = dv / dt #B.1#

Se v > 0, o movimento tem sentido da esquerda para a direita e o contrário se v < 0. Se a e v têm o mesmo sinal, o valor absoluto da velocidade aumenta com o tempo e vice-versa.

Pode-se perfeitamente usar o eixo Y no lugar do X. Isso é apenas uma questão de conveniência para cada caso.



Movimento retilíneo uniforme

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No movimento retilíneo uniforme, a velocidade v é constante e diferente de zero. Assim, de acordo com #B.1# do tópico anterior, a aceleração é a = 0 (notar que este tipo é o único que tem rigorosamente velocidade constante. Se o caminho não é reto, mesmo que a intensidade da velocidade seja constante, a direção do vetor velocidade varia e, portanto, a aceleração será sempre diferente de zero).

De #A.1# do tópico anterior, dx = v dt. Fazendo a integração,

Movimento retilíneo uniforme
Fig 01
∫ dx = v ∫ dt (porque v é constante).

Para resolver as integrais, é preciso definir intervalos.

Para a posição, o intervalo é de x0 até x (x0 não coincide necessariamente com a origem 0 do eixo X).

Para o tempo, consideram-se t = 0 em x0 e t = t em x.

A solução da integral anterior é x = v t. Aplicando os intervalos,

x − x0 = v (t − 0). Reagrupando,

x = x0 + vt #A.1#.

Em (b) e (c) da Figura 01 são dados, respectivamente, os gráficos em relação ao tempo da velocidade v (constante) e distância percorrida x conforme equação anterior.



Movimento retilíneo uniformemente acelerado

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Para esse tipo, a aceleração a é constante e diferente de zero. De forma similar à do tópico anterior, considera-se, conforme (a) da Figura 01, o intervalo de x0 a x. Os demais intervalos são, respectivamente, de t = 0 a t = t para o tempo e de v = v0 a v = v para a velocidade, porque ela não é constante.

Movimento retilíneo uniformemente acelerado
Fig 01
De #B.1# do tópico Movimento retilíneo, dv = a dt. Fazendo a integração,

∫ dv = a ∫ dt (porque a é constante). A solução é

v = a t.

Aplicando os intervalos,

v − v0 = a (t − 0) ou

v = v0 + a t #A.1#.

De #A.1# do tópico Movimento retilíneo, dx = v dt. Fazendo a integração, ∫ dx = ∫ v dt.

Essa igualdade não pode ser mais simplificada porque v não é constante neste caso. Deve-se substituir pelo valor dado por #A.1# anterior:

∫ dx = ∫ (v0 + at) dt = ∫ v0 dt + ∫ a t dt. A solução é x = v0 t + (1/2) a t2. Usando os intervalos,

x = x0 + v0 t + (1/2) a t2 #B.1#.

Em (b) e (c) da Figura 01 são dados os gráficos, em relação ao tempo, da velocidade (equação de uma reta) e da posição x (equação de uma parábola).

Nas proximidades da superfície terrestre, pode-se considerar a aceleração da gravidade invariável. Se desprezada a resistência do ar, a queda livre de um corpo é o exemplo mais comum de movimento retilíneo uniformemente acelerado.



Exemplo

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Na Figura 01 deste tópico, ABC é o trajeto de um projétil que é disparado verticalmente do ponto A com velocidade 100 m/s, na altura de 50 m acima do solo. Naturalmente, as linhas AB e BC são coincidentes. No desenho estão separadas por questão de clareza.

Deseja-se saber a altura máxima alcançada (ponto B) e a velocidade com que o projétil atinge o solo (ponto C). A resistência do ar é desprezada.

Após o disparo, a única força atuante no projétil é o seu próprio peso. Portanto, a sua aceleração é constante e igual à aceleração da gravidade, significando um movimento retilíneo uniformemente acelerado com a = g ≈ − 9,81 m/s2.

Exemplo: projétil lançado na vertical
Fig 01
Desde que o movimento se dá ao longo do eixo Y, substitui-se o símbolo na igualdade #B.1# do tópico Movimento retilíneo uniformemente acelerado:

y = y0 + v0 t + (1/2) a t2. Onde:

y0 = yA = 50 m.

v0 = vA = 100 m/s.

a = g ≈ − 9,81 m/s2 (sinal negativo porque é para baixo).

Assim, y = 50 + 100 t − 4,9 t2.

Da equação #A.1# do tópico Movimento retilíneo uniformemente acelerado, v = 100 − 9,81 t. Na altura máxima, a velocidade do projétil é nula ou vB = 0. Assim, o tempo é dado por

0 = 100 − 9,81 tB. Ou tB ≈ 10,2 s. Substituindo o valor na igualdade anterior,

yB = 50 + 100 10,2 − 4,9 10,22 = 50 + 1020 − 509,8 ≈ 560,2 m. Esse valor é a altura máxima, a partir do solo, alcançada pelo projétil.

Ao atingir o solo, yC = 0. Assim: 0 = 50 + 100 tC − 4,9 tC2. Isso é uma equação do segundo grau e, portanto, há duas soluções. Uma delas tem valor negativo, o que significaria um tempo anterior ao lançamento e não teria sentido no caso. A outra solução é tC ≈ 20,9 s. Substituindo na equação da velocidade,

vC = 100 − 9,81 20,9 ≈ − 105 m/s. O sinal negativo está de acordo com o sentido para baixo do movimento.

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