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É comum a divisão do estudo do movimento dos corpos em duas partes: a cinemática, que é a análise dos movimentos sem considerar as relações com as forças que os produzem e a dinâmica, que estuda os movimentos e as forças associadas. Numa seqüência lógica de matérias, a cinemática naturalmente vem em primeiro lugar.
Os movimentos são sempre relacionados a algum sistema de coordenadas de referência. Quando, por exemplo, um observador mede ou avalia algum movimento, a referência implícita é em geral o próprio observador. Notar que os parâmetros do movimento podem variar de acordo com o movimento próprio do sistema de referência (exemplo: uma pessoa ou um objeto podem estar imóveis em relação à Terra, mas estarão em movimento em relação ao Sol). Isso se chama movimento relativo, que não é tema desta página. Portanto, supõe-se aqui um sistema de referência absoluto, sem considerações sobre o seu próprio movimento.
Observações:
• Nesta página, como nas demais deste site, grandezas vetoriais são representadas por símbolos em negrito. Os mesmos símbolos em formato normal significam módulos ou coordenadas. Mais informações podem ser vistas na página Vetores I-10 deste site.
• Por questão de simplicidade e clareza, os movimentos ocorrem em duas dimensões, isto é, em um plano. Mas os conceitos são facilmente estendidos para deslocamentos no espaço.
• Valores médios são indicados pelo índice
No conceito do dia-a-dia, velocidade é a simples relação entre espaço percorrido e tempo. Exemplo: se um automóvel percorreu 100 km em 2 horas, diz-se simplesmente que a velocidade dessa viagem foi 100/2 = 50 km/h. Mas isso é uma média, não significa que o veículo teve sempre essa velocidade. O mais provável é que algumas partes tenham sido percorridas com maiores velocidades e outras com menores.
Na Física, velocidade é uma grandeza instantânea definida por um vetor, porque, além da intensidade, tem uma direção. Seja então a Figura 01 (a): um corpo segue um caminho genérico dado pela curva C.
Num determinado instante t, ele está no ponto 1, cuja posição é dada pelo vetor r.
No instante t + Δt, ele está no ponto 2, cuja posição é dada pelo vetor r + Δr.
Entre esses pontos, o espaço percorrido é o comprimento da curva ΔC.
O vetor Δr é uma aproximação para o comprimento da curva, de forma que a velocidade média aproximada pode ser dada pelo vetor
vav ≈ Δr / Δt #A.1#.
Quanto menor Δr, maior a aproximação com ΔC. Assim, no limite,
v = dr / dt #B.1#.
Essa relação é a velocidade instantânea em um determinado ponto. Por ter a mesma direção da variação infinitesimal do deslocamento ao longo da curva, o vetor velocidade é sempre tangente a essa curva, conforme indicado em (b) da Figura 01.
Por ser um vetor, a velocidade pode ser decomposta na soma de outros. Em vários casos, é comum o uso dos componentes nos eixos das coordenadas, isto é,
v = vx + vy #C.1#.
No Sistema Internacional, a unidade fundamental de velocidade é o metro por segundo (m/s). O quilômetro por hora (km/h) é bastante usado na prática e equivale a aproximadamente 0,278 m/s. Outras equivalências podem ser vistas na página Conversão de velocidade deste site.
Aceleração é a variação da velocidade em relação ao tempo. Na Figura 01 (a) deste tópico, um corpo segue uma trajetória genérica C. No ponto 1 tem uma velocidade v e no ponto 2 tem uma velocidade v + Δv.
Graficamente, o vetor diferença de velocidades Δv pode ser visto em (b) da mesma figura.
Portanto, a aceleração média entre os pontos 1 e 2 é dada por:
aav = Δv / Δt #A.1#.
De forma similar à do tópico anterior, a situação limite dá a definição de aceleração instantânea em um determinado ponto da trajetória:
a = dv / dt #B.1#.
Entretanto, deve ser notado que, ao contrário da velocidade, o vetor aceleração não tem uma relação geométrica definida com a curva. Em geral, não é tangente nem normal à trajetória do corpo. Ver (c) da figura.
A unidade básica no Sistema Internacional é o metro por segundo ao quadrado (m/s2). Outras unidades podem ser vistas na página Unidades de aceleração deste site.
Pode-se estudar melhor o vetor aceleração se feita a decomposição em relação á curva (direções normal e tangente) e não ao sistema de coordenadas XY. Conforme (a) da Figura 01 abaixo,
a = aN + aT #A.1#. Onde:
aT é o componente tangencial à curva ou aceleração tangencial.
aN é o componente normal à curva ou aceleração normal.
Consideram-se agora os vetores unitários i e j nos eixos X e Y do sistema de coordenadas. Se a tangente à curva no ponto P faz um ângulo φ com a horizontal, pode-se estabelecer relações trigonométricas com vetores unitários N e T (normal e tangencial).
T = i cos φ + j sen φ #B.1#.
N = − i sen φ + j cos φ #B.2#.
Derivando T em relação ao tempo,
dT / dt = − i (sen φ) dφ/dt + j (cos φ) dφ/dt #C.1#.
Considerando a igualdade anterior #B.2#,
dT / dt = N dφ/dt #C.2#.
Seja dC o comprimento infinitesimal da curva compreendida por dφ. Assim,
dφ/dt = (dφ/dC) (dC/dt) #D.1#.
Mas (dφ/dC) é a curvatura da trajetória C, equivalente ao inverso do raio de curvatura RC da figura. E (dC/dt) é a relação entre espaço percorrido e tempo no intervalo infinitesimal, ou seja, é a intensidade da velocidade v. Portanto,
dT / dt = N v / RC #D.2#.
A velocidade v pode ser dada pelo produto da sua magnitude v pelo vetor unitário tangencial T, isto é, v = v T. Desde que aceleração é igual a dv/dt e considerando a propriedade das diferenciais d(xy) = x dy + y dx,
a = dv/dt = (dv/dt) T + v (dT/dt) #E.1#.
Substituindo (dT/dt) conforme igualdade anterior, chega-se a:
a = (dv/dt) T + (v2/RC) N #E.2#. Essa igualdade define os componentes da aceleração:
Os movimentos são sempre relacionados a algum sistema de coordenadas de referência. Quando, por exemplo, um observador mede ou avalia algum movimento, a referência implícita é em geral o próprio observador. Notar que os parâmetros do movimento podem variar de acordo com o movimento próprio do sistema de referência (exemplo: uma pessoa ou um objeto podem estar imóveis em relação à Terra, mas estarão em movimento em relação ao Sol). Isso se chama movimento relativo, que não é tema desta página. Portanto, supõe-se aqui um sistema de referência absoluto, sem considerações sobre o seu próprio movimento.
Observações:
• Nesta página, como nas demais deste site, grandezas vetoriais são representadas por símbolos em negrito. Os mesmos símbolos em formato normal significam módulos ou coordenadas. Mais informações podem ser vistas na página Vetores I-10 deste site.
• Por questão de simplicidade e clareza, os movimentos ocorrem em duas dimensões, isto é, em um plano. Mas os conceitos são facilmente estendidos para deslocamentos no espaço.
• Valores médios são indicados pelo índice
av (exemplo: vav velocidade média). É notação comum na língua inglesa (de average).
Velocidade |
Topo | Fim |
No conceito do dia-a-dia, velocidade é a simples relação entre espaço percorrido e tempo. Exemplo: se um automóvel percorreu 100 km em 2 horas, diz-se simplesmente que a velocidade dessa viagem foi 100/2 = 50 km/h. Mas isso é uma média, não significa que o veículo teve sempre essa velocidade. O mais provável é que algumas partes tenham sido percorridas com maiores velocidades e outras com menores.
Na Física, velocidade é uma grandeza instantânea definida por um vetor, porque, além da intensidade, tem uma direção. Seja então a Figura 01 (a): um corpo segue um caminho genérico dado pela curva C.
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| Fig 01 |
No instante t + Δt, ele está no ponto 2, cuja posição é dada pelo vetor r + Δr.
Entre esses pontos, o espaço percorrido é o comprimento da curva ΔC.
O vetor Δr é uma aproximação para o comprimento da curva, de forma que a velocidade média aproximada pode ser dada pelo vetor
vav ≈ Δr / Δt #A.1#.
Quanto menor Δr, maior a aproximação com ΔC. Assim, no limite,
v = dr / dt #B.1#.
Essa relação é a velocidade instantânea em um determinado ponto. Por ter a mesma direção da variação infinitesimal do deslocamento ao longo da curva, o vetor velocidade é sempre tangente a essa curva, conforme indicado em (b) da Figura 01.
Por ser um vetor, a velocidade pode ser decomposta na soma de outros. Em vários casos, é comum o uso dos componentes nos eixos das coordenadas, isto é,
v = vx + vy #C.1#.
No Sistema Internacional, a unidade fundamental de velocidade é o metro por segundo (m/s). O quilômetro por hora (km/h) é bastante usado na prática e equivale a aproximadamente 0,278 m/s. Outras equivalências podem ser vistas na página Conversão de velocidade deste site.
Aceleração |
Topo | Fim |
Aceleração é a variação da velocidade em relação ao tempo. Na Figura 01 (a) deste tópico, um corpo segue uma trajetória genérica C. No ponto 1 tem uma velocidade v e no ponto 2 tem uma velocidade v + Δv.
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| Fig 01 |
Portanto, a aceleração média entre os pontos 1 e 2 é dada por:
aav = Δv / Δt #A.1#.
De forma similar à do tópico anterior, a situação limite dá a definição de aceleração instantânea em um determinado ponto da trajetória:
a = dv / dt #B.1#.
Entretanto, deve ser notado que, ao contrário da velocidade, o vetor aceleração não tem uma relação geométrica definida com a curva. Em geral, não é tangente nem normal à trajetória do corpo. Ver (c) da figura.
A unidade básica no Sistema Internacional é o metro por segundo ao quadrado (m/s2). Outras unidades podem ser vistas na página Unidades de aceleração deste site.
Componentes da aceleração |
Topo | Fim |
Pode-se estudar melhor o vetor aceleração se feita a decomposição em relação á curva (direções normal e tangente) e não ao sistema de coordenadas XY. Conforme (a) da Figura 01 abaixo,
a = aN + aT #A.1#. Onde:
aT é o componente tangencial à curva ou aceleração tangencial.
aN é o componente normal à curva ou aceleração normal.
Consideram-se agora os vetores unitários i e j nos eixos X e Y do sistema de coordenadas. Se a tangente à curva no ponto P faz um ângulo φ com a horizontal, pode-se estabelecer relações trigonométricas com vetores unitários N e T (normal e tangencial).
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| Fig 01 |
N = − i sen φ + j cos φ #B.2#.
Derivando T em relação ao tempo,
dT / dt = − i (sen φ) dφ/dt + j (cos φ) dφ/dt #C.1#.
Considerando a igualdade anterior #B.2#,
dT / dt = N dφ/dt #C.2#.
Seja dC o comprimento infinitesimal da curva compreendida por dφ. Assim,
dφ/dt = (dφ/dC) (dC/dt) #D.1#.
Mas (dφ/dC) é a curvatura da trajetória C, equivalente ao inverso do raio de curvatura RC da figura. E (dC/dt) é a relação entre espaço percorrido e tempo no intervalo infinitesimal, ou seja, é a intensidade da velocidade v. Portanto,
dT / dt = N v / RC #D.2#.
A velocidade v pode ser dada pelo produto da sua magnitude v pelo vetor unitário tangencial T, isto é, v = v T. Desde que aceleração é igual a dv/dt e considerando a propriedade das diferenciais d(xy) = x dy + y dx,
a = dv/dt = (dv/dt) T + v (dT/dt) #E.1#.
Substituindo (dT/dt) conforme igualdade anterior, chega-se a:
a = (dv/dt) T + (v2/RC) N #E.2#. Essa igualdade define os componentes da aceleração:
| Aceleração tangencial | aT = (dv/dt) T | #F.1# |
| Aceleração normal | aN = (v2/RC) N | #F.2# |
| Última atualização ou revisão: Dez/2007 | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | |
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