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Introdução | Topo
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O meio clássico para a solução de problemas envolvendo o equilíbrio de corpos rígidos é o uso das conhecidas equações básicas Σ F = 0 e Σ M = 0, onde F é força e M é momento.
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| Fig 01 |
Aqui estamos supondo forças coplanares, mas as equações podem ser facilmente estendidas para três dimensões.
Sendo força uma grandeza vetorial, a igualdade anterior das forças pode ser dada por
Σ Fx = 0 e Σ Fy = 0 #A.1#.
Consideramos os deslocamentos infinitesimais δrx e δry ao longo dos eixos X e Y respectivamente. Multiplicamos cada pelas equações em #A.1#:
δrx Σ Fx = 0 e δry Σ Fy = 0. Podemos também escrever Σ δrx Fx = 0 e Σ δry Fy = 0. Essas igualdades correspondem ao produto escalar de um vetor δr (de componentes δrx e δry) por cada força F atuante no corpo. Temos então
Σ F . δr = 0 #B.1#.
O produto escalar de um vetor força por um vetor deslocamento é o trabalho realizado pela força ao longo do deslocamento. Mas no sistema em equilíbrio não deve, em princípio, haver deslocamento. Assim, dizemos que δr é um deslocamento virtual e o trabalho correspondente é um trabalho virtual (usamos a notação δr para distinção de um deslocamento real dr)
E o princípio dado pela equação #B.1# pode ser resumido da forma "se um corpo está em equilíbrio estático, a soma dos trabalhos virtuais de cada força para qualquer deslocamento virtual é nula". E a equação anterior pode ser escrita
δU = Σ F . δr = R . δr = 0 #B.2#. Onde δU é a soma dos trabalhos virtuais e R é a resultante das forças.
Exemplo 01 |
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A Figura 01 deste tópico dá um exemplo clássico simples para demonstrar a aplicação do princípio do trabalho virtual.
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| Fig 01 |
Essa força de compressão é a reação horizontal Cx em C. Em (b) da figura consideramos o sistema de coordenadas com origem em A e um deslocamento virtual vertical δyB de B e o correspondente deslocamento virtual horizontal δxC de C.
Por relações trigonométricas temos as coordenadas
yB = L cos φ e xC = 2 L sen φ.
Calculamos as diferenciais para obter os deslocamentos virtuais
δyB = - L sen φ δφ e δxC = 2 L cos φ δφ.
O trabalho virtual é dado por δU = F δyB + Cx δxC = 0. As demais forças (Ax, Ay e Cy) não executam trabalho. Substituindo os valores anteriores,
δU = F (- L sen φ δφ) + Cx (2 L cos φ δφ) = 0. Resolvendo, Cx = (1/2) F tan φ. Notar que os cálculos seriam mais demorados com uso das equações básicas Σ F = 0 e Σ M = 0.
Exemplo 02 |
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:: Fim |
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| Fig 01 |
No sistema de cabos e roldanas dado pela Figura 01 (a), desejamos saber a relação entre a força F e a carga W.
Com a relação fundamental Σ F = 0, precisaríamos igualar sucessivamente as forças em cada roldana.
Mas a geometria do caso permite facilmente concluir que um deslocamento δy1 de F é igual a - 4 δy2 de W. Somando os trabalhos virtuais, temos
F δy1 + W δy2 = 0 ou F (- 4 δy2) + W δy2 = 0.
Portanto, F = W / 4.
Corpo rígido |
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:: Fim |
Seja, conforme Figura 01, um corpo rígido que é deformado pela aplicação de um carregamento genérico. Naturalmente, o corpo deve ter algum apoio, que chamamos de restrição, para a deformação ocorrer.
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| Fig 01 |
É possível demonstrar que o princípio do trabalho virtual continua válido para um deslocamento virtual δu com as mesmas restrições do corpo original, ou seja, o trabalho virtual externo é igual à energia interna virtual de deformação.
A demonstração matemática aqui não é dada. É comum uma formulação como (u e U são deslocamentos):
∫ f δu dV + Σ F δU = ∫ σ δε dV. Os termos do lado esquerdo se referem a cargas distribuídas e concentradas respectivamente e o termo do lado direito é a energia virtual de deformação.
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