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Rotação de eixos para momentos de segunda ordem
| Topo pág | Fim pág |Sejam, conforme Figura 01, uma superfície genérica S e um sistema de coordenada XY. Para um sistema UV de mesma origem e com uma rotação φ, valem as relações a seguir.
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| Figura 01 |
#A.1#
#A.2#
#A.3#Considera-se a identidade (ver página correspondente):
cos 2φ = cos2 φ − sen2 φ #B.1#
Substituindo em #A.1# e em #A.2# e simplificando, obtêm-se outras formas para essas relações:
Ju = Jx cos2 φ + Jy sen2 φ − Jxy sen 2φ #C.1# Jv = Jx sen2 φ + Jy cos2 φ + Jxy sen 2φ #C.2#
Seja a relação já vista para o momento polar de inércia:
J0 = Jx + Jy #D.1#Somando #A.1# com #A.2# (ou #C.1# com #C.2#),
J0 = Ju + Jv = Jx + Jy #D.2#Esse resultado indica que, na rotação de eixos, o momento polar de inércia não se altera.
Eixos principais e eixos centrais de inércia
| Topo pág | Fim pág |Através da derivação das fórmulas #A.1# e #A.2# do tópico anterior, demonstra-se que há um ângulo de rotação no qual o momento de inércia em relação a um eixo é máximo e, em relação ao outro, é mínimo. Eixos nesse ângulo são denominados eixos principais de inércia.
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| Figura 01 |
#A.1#E os ângulos são dados por:
#A.2#
Eixos principais de inércia cuja origem é o centróide (ou centro de gravidade, no conceito prático) da seção são denominados eixos centrais de inércia.
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| Figura 02 |
Desde que o produto de inércia Jxy é nulo se um eixo é de simetria, deduz-se a partir de #A.1# que, se uma seção tem um eixo de simetria, um dos eixos principais coincide com ele. Naturalmente, o outro eixo principal é perpendicular.
Nos exemplos da Figura 02, a seção (a), perfil tipo I, tem dois eixos de simetria e os eixos principais são facilmente determinados. Em (b), perfil tipo U, há apenas o eixo 1 de simetria e a posição do eixo 2 deve ser determinada a partir do cálculo do centróide C da seção.
Para os eixos principais, duas igualdades podem ser formuladas:
JA + JB = Jx + Jy #B.1#JA JB = Jx Jy − Jxy2 #B.2#A primeira é a igualdade #D.2# do tópico anterior. A segunda é obtida pela separação de #A.1# nas duas relações e posterior multiplicação e simplificação.
Elipse central de inércia
| Topo pág | Fim pág |Uma elipse central de inércia é traçada conforme exemplo da Figura 01 abaixo (o eixo horizontal é o de menor momento). Os raios R1 e R2 são os raios de giração correspondentes aos momentos de inércia máximo e mínimo. Portanto,
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| Figura 01 |
#A.1#Para um eixo genérico U, o raio de inércia Ru é dado por:
#A.2#Ou graficamente conforme figura. E o momento de inércia em relação a U é calculado por:
Ju = Ru2 S #A.3#
Módulo de resistência
| Topo pág | Fim pág |Seja, conforme Figura 01, uma seção genérica S e um eixo principal de inércia (1, neste caso). Em relação a esse eixo, e1 e e2 são as distâncias dos pontos extremos da seção.
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| Figura 01 |
#A.1#Se a seção é simétrica,
e1 = e2 = e, existindo apenas um valor:
#A.2#As distâncias são consideradas em valores absolutos (sem sinal).
A unidade básica do módulo de resistência no Sistema Internacional é m3. Valores práticos geralmente usam o submúltiplo cm3.
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