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Momento de inércia de área
| Topo pág | Fim pág |O momento de inércia de área ou momento de segunda ordem de área é uma propriedade de uma seção plana de um corpo, que tem relação com a resistência à deformação. Apesar da semelhança em formulação e em alguns teoremas, não deve ser confundido com momento de inércia de massa, que é usado no estudo da rotação de corpos rígidos. É comum o mesmo símbolo (I) para ambos, mas a distinção fica normalmente clara no contexto e nas unidades físicas. Nesta página, será usado o símbolo J para o momento de inércia de área.
Em Engenharia, é usual o emprego da expressão reduzida momento de inércia para designar o momento de inércia de área.
Seja, conforme Figura 01, uma superfície plana genérica de área S e um sistema de coordenadas ortogonais XY. Os momentos de inércia em relação a cada eixo são dados por:
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| Figura 01 |
#A.1#
#A.2#O momento polar de inércia em relação à origem é calculado por:
#B.1#Da relação trigonométrica
r2 = x2 + y2 conclui-se que
#B.2#Da definição, pode-se notar que momentos de inércia são sempre valores positivos. A unidade básica no Sistema Internacional (SI) é o m4. O submúltiplo cm4 é bastante usado para valores práticos.
Raios de giração são definidos a partir dos momentos de inércia anteriores:
#C.1#O raio de giração tem dimensão de comprimento e é um parâmetro geralmente usado no estudo da estabilidade de colunas.
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| Figura 02 |
Para o momento em relação ao eixo X, pode-se supor que a integração ao longo de uma faixa horizontal de altura dy (de −b/2 a +b/2) é uma parcela infinitesimal, ou seja,
dJx = y2 b dy. Integrando,
Usando procedimento similar para o eixo Y, o resultado da integração é
Teorema de Steiner
| Topo pág | Fim pág |Sejam uma superfície plana de área S e dois sistemas de coordenadas ortogonais de eixos paralelos X1Y1 e XCYC, com as distâncias entre eixos dadas conforme figura.
A origem do sistema XCYC coincide com o centróide C da superfície.
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| Figura 01 |
Jx1 = JxC + S y1C2 #A.1#Jy1 = JyC + S x1C2 #A.2#E os momentos polares de inércia têm relação similar:
J01 = J0C + S r1C2 #B.1#Exemplo: determinar os momentos de inércia em relação a X e a Y do retângulo inclinado de φ conforme Figura 02. Considerar que a altura h é muito pequena em relação à base b.
Um ponto genérico P(x, y) é o centróide de uma porção de área elementar h dr.
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| Figura 02 |
De acordo com as relações #A.1# e #A.2#,
dJx = dJxC + h dr y2 dJy = dJyC + h dr x2 dJx = dJxC + h dr r2 sen2 φ dJy = dJyC + h dr r2 cos2 φ
Desde que a área h dr é pequena, pode-se supor
dJxC = dJyC = 0. E as equações acima são resolvidas por integração:
Momentos de inércia para seções compostas
| Topo pág | Fim pág |Para uma composição de seções, valem as fórmulas:
#A.1#
#A.2#Jxi e Jyi são os momentos de inércia de cada parte.
Si são as respectivas áreas.
xi e yi são as distâncias entre eixos de cada parte e os eixos X e Y.
Todos os eixos correspondentes (x ou y) devem ser paralelos.
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| Figura 01 |
Essa seção pode ser decomposta em três retângulos:
(1): largura b, altura tb
(2): largura tw, altura (h − 2tb)
(3): largura b, altura tb
Usam-se agora as relações dadas e os momentos de inércia calculados no primeiro tópico.
Para o eixo X:
S1 = b tb S2 = tw (h − 2tb) S3 = b tb y1 = h/2 − tb/2 y1 = 0 y3 = − h/2 + tb/2
Para o eixo Y:
Si conforme acima
x1 = x2 = x3 = 0Substituindo em #A.1# e #A.2# e simplificando,
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