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Centróide para três dimensões
| Topo pág | Fim pág |Na página anterior, foi dada a formulação para as coordenadas do centróide de uma superfície. Para um corpo real de três dimensões, as fórmulas são similares, com integração no volume:
#A.1#Para uma superfície em três dimensões, as fórmulas são:
#B.1#Essas relações valem na prática para corpos reais (cascas) de espessura pequena e constante. Se a superfície é plana, uma coordenada é eliminada e as fórmulas são iguais às da página anterior.
Para linhas em três dimensões,
#C.1#As fórmulas acima valem na prática para corpos reais (arames) de bitola pequena e constante.
Exemplo: determinar o centróide de um arame em forma de um quarto de circunferência de raio R conforme Figura 01.
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| Figura 01 |
ℓ = 2 π R / 4 = π R / 2. Desde que é plana, zC = 0.Usando as demais equações de #C.1#,
Centróides para algumas formas geométricas
| Topo pág | Fim pág |Este tópico dá igualdades já desenvolvidas para alguma formas. Conforme visto em página anterior, há coincidência com o centro de gravidade para corpos de materiais homogêneos.
Formas comuns com dois ou mais eixos de simetria (círculo, elipse, retângulo, etc) não são aqui apresentadas porque a localização é facilmente determinada pela interseção desses eixos.
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xC = 0 
Obs:
para φ = π (semicírculo)
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Conforme
xC = 0 
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xC = 0 
Obs: referente à linha. Não é superfície.
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xC = 0 
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xC = 0 
Teoremas de Pappus-Guldin
| Topo pág | Fim pág |São assim denominados porque foram originalmente descobertos pelo matemático grego Pappus de Alexandria e redescobertos na Europa por Paul Guldin.
Teorema 1: a área S de uma superfície de revolução é dada por
S = s d #A.1#. Onde s é o comprimento da curva geratriz e d é a distância percorrida pelo centróide dessa curva em uma rotação completa.Teorema 2: o volume V de um sólido de revolução é dado por
V = S d #B.1#. Onde S é a área da superfície geratriz e d é a distância percorrida pelo centróide dessa área em uma rotação completa.
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| Figura 01 |
Seja a ilustração da Figura 01. O toróide é gerado pela revolução de uma circunferência de raio r. Portanto, o comprimento da curva é
2 π r. O centróide (que é o centro dessa circunferência) percorre uma distância 2 π R para a geração. Aplicando então o Teorema 1,S = 2 π r 2 π R = 4 π2 r R
Exemplo: determinar o centróide de uma semicircunferência.
Uma semicircunferência de raio R girando em torno de sua base gera uma superfície esférica de mesmo raio. A área da esfera é
4 π R2. O comprimento da semicircunferência é π R. Se y é a distância do centro para o centróide, ele percorre uma distância 2 π y para a geração. Segundo, #A.1#,4 π R2 = π R 2 π y . Portanto, y = 2 R / π conforme tópico anterior.Exemplo: determinar o centróide de um semicírculo.
Uma esfera de raio R é gerada por um semicírculo de mesmo raio que gira em torno da sua base. O volume de uma esfera é
(4/3) π R3. A área de um semicírculo é (1/2) π R2. Se y é a distância do centro para o centróide, ele percorre 2 π y para girar uma volta. Segundo #B.1#,(4/3) π R3 = (1/2) π R2 2 π y . Portanto, y = 4 R / (3 π) conforme dado no tópico anterior.Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Jun/2008
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