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Momento estático, centróide
| Topo pág | Fim pág |Seja uma superfície plana genérica de área S conforme Figura 01.
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| Figura 01 |
#A.1#Momento estático em relação ao eixo Y:
#A.2#A depender da posição do eixo em relação à superfície, o momento estático pode ser positivo, nulo ou negativo.
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| Figura 02 |
Se um sistema de coordenadas X1Y1 faz um ângulo α com um sistema XY e ambos têm a mesma origem (Figura 02), valem as relações:
Mx1 = Mx cos α + My sen α #B.1#My1 = −Mx sen α + My cos α #B.2#
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| Figura 03 |
Se um sistema de coordenadas X1Y1 está deslocado (x1, y1) do sistema XY (Figura 03), valem as relações:
Mx = Mx1 + y1S #C.1#My = My1 + x1S #C.2#
Centróide:
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| Figura 04 |
MxC = MyC = 0 #D.1#Substituindo em #C.1# e em #C.2# e considerando a definição em #A.1# e #A.2#, chega-se a:
#D.2#
#D.3#
O ponto de origem C(xc, yC) é denominado centróide da seção. Os eixos que passam por esse ponto, XC e YC, são denominados eixos centrais.
É possível demonstrar que, se uma seção tem um eixo de simetria, o centróide está sobre esse eixo. Se uma seção tem dois eixos de simetria, o centróide é a interseção desses eixos.
Exemplo: determinar o centróide da superfície sob a curva y = 4 − x2 no primeiro quadrante, conforme indicado na Figura 05.
A área da superfície é
Considera-se agora, em um ponto genérico (x, y), uma faixa vertical de largura dx com elementos de altura dy conforme ilustração da figura. Para essa faixa, os momentos elementares dMx e dMy são dados por:
Integrando e substituindo o valor de y,
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| Figura 05 |
Resolvendo as integrais,
Com os resultados acima, calculam-se as coordenadas do centróide:
Centro de gravidade
| Topo pág | Fim pág |Algumas vezes, centróide e centro de gravidade são considerados sinônimos, mas rigorosamente não são. Centróide é um parâmetro geométrico e centro de gravidade é um parâmetro físico de um corpo (ponto pelo qual passa a linha de ação do peso) e, portanto, devem ser computadas as três dimensões e o peso específico.
A fim de manter a analogia no caso do centro de gravidade, a superfície é considerada uma placa de espessura pequena, de forma que o peso específico do material seja constante ao longo dessa espessura, isto é, só depende das coordenadas x e y.
Seja então uma placa plana de espessura pequena e constante t, área S e peso específico γ(x, y). Assim, os volumes elementares são dados por t dS. E as coordenadas do centro de gravidade são:
#A.1#
#A.2#Se o material da placa é homogêneo,
γ(x, y) = constante, e as relações acima tornam-se iguais a #D.2# e #D.3# do tópico anterior. Portanto, centróide e centro de gravidade são coincidentes se o material é homogêneo ou pode ser assim considerado (é o caso da maioria das aplicações práticas).Calculando centróides por composição
| Topo pág | Fim pág |
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| Figura 01 |
Seja o exemplo da Figura 01 (a), em que a superfície pode ser subdividida em dois retângulos conforme (b) da mesma figura. Retângulo é uma forma simples, que tem dois eixos de simetria, cuja interseção coincide com a interseção das diagonais. Portanto, nesse exemplo, as coordenadas dos centróides de cada, (x1, y1) e (x2, y2), são facilmente determinadas.
De forma genérica, as coordenadas do centróide resultante da composição são dadas por:
#A.1#
#A.2#As fórmulas podem inclusive ser usadas para partes vazadas (furos). Nessas, as áreas dever ser consideradas negativas.
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