Curva de flambagem

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Na página anterior foi visto que o cálculo da tensão de flambagem segundo Euler (σ_fl = π² E / λ²) vale para tensões até o limite de proporcionalidade (elasticidade) do material. Isso corresponde a um coeficiente de esbeltez mínimo λ_p.

Fig 01

Mas falhas por flambagem ocorrem com barras de coeficientes abaixo desse valor. Apenas a hipérbole de Euler não é mais válida.

A Figura 01 ao lado dá o gráfico para um determinado tipo de aço.

Pode-se notar que, na faixa de barras curtas, a tensão de flambagem é praticamente a tensão de escoamento do material.


O maior problema está na região intermediária (barras médias). O comportamento das curvas varia com os materiais e outros fatores, em especial com a ductilidade. Vários métodos empíricos foram desenvolvidos para o cálculo. Alguns são descritos nos próximos tópicos.

Fórmulas de Tetmajer

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São aproximações por retas para alguns materiais conforme tabela abaixo. No caso de ferro fundido, é usada uma parábola. Resultados em MPa.

Material	E (MPa)	λp	σfl conf Euler σfl = π2E/λ2	σfl para λ < λp
Aço 0,1/0,2% C	206 103	112	2033 103 / λ2	304 − 1,118 λ
Aço 0,3% C	216 103	105	2129 103 / λ2	328,5 − 0,608 λ
Ferro fundido	98 103	80	968 103 / λ2	761 − 11,77 λ − 0,052 λ2
Madeira pinho	9,8 103	100	96,8 103 / λ2	28,733 − 0,19 λ

Exemplo de cálculo:

Um pistão é acionado por uma haste de aço 0,2%C de comprimento 1,6 m e diâmetro 9 cm. A força máxima de compressão é 186 kN. Analisar a estabilidade quanto à flambagem.

São dados

E = 206 10³ MPa (tabela anterior).
L = 1,6 m.
D = 0,09 m. Assim, área da seção S ≈ 6,36 10⁻³ m².

Para seção circular, o momento de inércia em qualquer direção é J = π D⁴ / 64.

Raio de giração r = √ (J/S) = √ [π D⁴ / 64/ (π D² / 4)] = D/4 = 0,0225 m.

Coeficiente de esbeltez λ = L / r = 1,6 / 0,0225 ≈ 71,1. O valor, conforme tabela acima, está abaixo do limite para fórmula de Euler.

Aplicando a fórmula de Tetmajer, σ_fl = 304 − 1,118 71,1 ≈ 224,5 MPa.

Determinando a força correspondente, F = σ_fl S = 224,5 10³ kPa 6,36 10⁻³ m² ≈ 1428 kN.

Concluindo, o elemento está comprimido com um coeficiente de segurança de 1428/186 ≈ 7,7 em relação ao máximo permitido para flambagem.

Método do coeficiente de flambagem

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Método usado para cálculo de estruturas metálicas e similares. Em geral os valores são definidos por normas. Usa um fator de flambagem w, dado, por exemplo, pela tabela abaixo.

λ	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	160	180	200	220	240	250
Aço 0,2C	-	-	1,04	1,08	1,14	1,21	1,30	1,41	1,55	1,71	1,90	2,11	2,43	2,85	3.31	4,32	5,47	6,75	8,17	9,73	10,55
Aço 0,4C	-	-	1,06	1,11	1,19	1,28	1,41	1,58	1,79	2,05	2,53	3,06	3,65	4,28	4,96	6,48	8,21	10,13	12,26	14,59	15,83
Ferro fund	1,00	1,01	1,05	1,11	1,22	1,39	1,67	2,21	3,50	4,43	5,45	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-

O fator é definido por w = σ_adm / σ_{fl_adm}, ou seja, é a relação entre a tensão admissível do material e a tensão admissível para flambagem.

Fig 01

Portanto, a força de compressão da coluna deve ser tal que

F ≤ σ_adm S / w, onde S é a área da seção transversal do elemento comprimido.

O gráfico da Figura 01 ao lado dá uma idéia aproximada da variação dos parâmetros citados com o coeficiente de esbeltez.

Notar que, para fins de dimensionamento, não há um resultado imediato, pois w depende do coeficiente λ, que depende da área S.

Mas é possível chegar a um resultado com uma estimativa preliminar e posteriores tentativas de aproximação.

Flambagem devido à torção

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Para eixos de seção circular, o menor momento que produz flambagem por torção é dado por

M_fl = 2 π E J / L #A.1#.

Se há ação simultânea de uma força de compressão F na direção axial,

M_{fl_compr} = M_fl √ (1 − F/K) #B.1#.

Onde K é a força de flambagem de Euler, dada por K = π² E J / L², conforme já visto em página anterior.

Desde que, na prática, se deve ter F < K, pode-se concluir que a presença da compressão axial reduz o momento crítico de flambagem por torção, isto é, a estabilidade piora.