Comprimento de flambagem

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O desenvolvimento matemático do tópico anterior (Equação básica da flambagem elástica) pressupõe que as extremidades da barra são articuladas e só podem mover-se na direção do seu eixo. Essa é a situação padrão, indicada em (d) da Figura 01.

Fig 01

Obs: na figura mencionada, as retas tracejadas verticais indicam a barra no estado inicial e as curvas contínuas indicam aproximações das deformações por flambagem

Para outras fixações, como (a), (b), (c), (e) e (f) da mesma figura, usam-se comprimentos de flambagem específicos.

A tabela abaixo dá os valores teóricos e práticos para cada uma das situações mencionadas.

Desde que os cálculos são baseados na força de Euler conforme tópico anterior, outras fixações devem ter seus comprimentos convertidos.

Tipo	(a)	(b)	(c)	(d)	(e)	(f)
Lfl teórico	0,5 L	0,7 L	1,0 L	1,0 L	2,0 L	2,0 L
Lfl prático	0,65 L	0,8 L	1,2 L	1,0 L	2,1 L	2,0 L

Exemplo: uma coluna de 3 metros de altura está fixada como em (f) da figura.

Então, ela é equivalente a uma coluna do tipo padrão (d), com comprimento 2,0 x 3 = 6 metros.

É importante lembrar que, em casos práticos (estruturas, máquinas), extremidades de colunas ou de barras comprimidas podem ter liberdade de movimento em determinadas direções e não ter em outras. Portanto, todas as hipóteses devem ser analisadas, dimensionando-se pela mais desfavorável.

Coeficiente de esbeltez

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Considerando-se o conceito de comprimento de flambagem, pode-se reescrever a igualdade da força de flambagem de Euler K, dado em #C.1# do tópico Equação básica da flambagem elástica:

K = π² E J / L_fl² #A.1#.

Se se deseja a tensão limite, os valores são divididos pela área da seção S

σ_fl = K/S = π² E J / S L_fl² = π² E / [L_fl / √ (J/S)]².

O valor L_fl / √ (J/S) é denominado coeficiente de esbeltez da barra. É comum o uso da letra grega lambda minúsculo para simbolizá-lo. Assim,

λ = L_fl / √ (J/S) #B.1#.

Fig 01

A expressão √ (J/S) é o raio de giração ou raio de inércia (i) da seção. E, assim, o coeficiente de esbeltez pode ser dado por

λ = L_fl / i #B.2#.

Desde que i depende do momento de inércia J e que esse varia com a orientação do eixo de referência, deve-se usar, em geral, o menor valor de J, isto é, J₂ (eixo principal com menor valor).


E a fórmula anterior da tensão pode ser escrita

σ_fl = π² E /λ² #C.1#.

Essa fórmula mostra que a tensão de flambagem depende apenas do módulo de elasticidade E (característica do material) e do coeficiente de esbeltez λ (característica geométrica da barra).

Para um mesmo material, E é constante e pode-se ter a tensão em função de λ. Por exemplo: para o aço, E = 206 GPa. Assim,

σ_fl (MPa) = π² 206 10³ / λ². Essa curva está representada na Figura 01. É denominada hipérbole de Euler para o material (aço, no caso).

Notar, entretanto, que a curva é limitada pela região de proporcionalidade (elástica) do material (hipótese assumida no desenvolvimento da equação básica).

Nesse caso do aço, para a tensão limite de proporcionalidade, σ_p = 226 MPa, há o coeficiente de esbeltez correspondente, λ_p ≈ 96. Esses valores estão indicados na figura. Para coeficientes de esbeltez menores, a fórmula não é válida, pois não há mais proporcionalidade entre tensão e deformação e/ou há deformações residuais decorrentes da plasticidade.

Exemplo simples de cálculo

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Uma plataforma metálica usa colunas de perfil comercial de aço tipo I 6", 18,5 kg/m. A altura das colunas é 3,30 m e a montagem é conforme (c) da Figura 01 do tópico Comprimento de flambagem. Verificar a carga máxima que cada coluna pode suportar sem flambar.

Características do perfil I 6" 18,5 kg/m: área S = 23,6 cm² e raio de giração r = 1,79 cm (mínimo).

Conforme tabela do mesmo tópico, a montagem (c) tem comprimento de flambagem L_fl = 1,2 L = 1,2 3,30. Portanto, L_fl = 3,96 m. E, de acordo com #B.2# do tópico Coeficiente de esbeltez,

λ = 3,96 / 1,79 10⁻² = 221.

A tensão de flambagem é dada por #C.1# do mesmo tópico (considerando-se E = 206000 MPa):

σ_fl = π² 206000 / 221² ≈ 42 MPa. Portanto F = σ_fl S = 42 10³ kPa 23,6 10⁻⁴ m² ≈ 99 kN.

O cálculo dessa carga não inclui os coeficientes de segurança, que devem ser introduzidos de acordo com as condições de utilização, conforme visto nas primeiras páginas desta série.

Esse é um cálculo simples, sem os critérios - em geral conservadores e a favor da segurança - previstos em normas. Por exemplo: o coeficiente de esbeltez está alto. A maioria das normas fixa um limite de 200 para prédios e 120 para pontes.

Outro exemplo de cálculo

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Uma coluna de madeira, de seção retangular 5 x 10 cm, tem altura livre de 2,5 m. A madeira tem as propriedades σ_e = 45 MPa e E = 13,1 GPa. A fixação das extremidades é conforme (d) da Figura 01 do tópico Comprimento de flambagem. Determinar os parâmetros para a flambagem elástica dessa coluna.

Para a seção retangular, área S = ab (= 5 10 = 50 10⁻⁴ m²), onde a e b são os lados.

O momento de inércia é J = ab³/12.

Visto que o raio de giração é r = √ (J/S) = √ [(ab³/12)/ab] = √ (b²/12). Desde que se deseja saber a condição mais crítica, deve-se usar o menor raio de giração. Assim, o lado de 5 cm deve ser considerado b.

r = √ (25 10⁻⁴ m² / 12) ≈ 0,0144 m.

O coeficiente de esbeltez é λ = 2,5 / 0,0144 ≈ 174, segundo #B.2# do tópico Coeficiente de esbeltez.

A tensão de flambagem conforme Euler é dada pela igualdade #C.1# do mesmo tópico:

σ_fl = π² E / λ² = π² 13,1 10³ MPa / 174² = 4,27 MPa.

Notar que a tensão de flambagem é apenas uma pequena fração da tensão de escoamento considerada para o material. Outras observações conforme exemplo anterior.