Introdução - Falha por flambagem

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Alguns tipos de esforços tendem a provocar instabilidades físicas nos elementos que os suportam. A Figura 01 (a) deste tópico indica uma barra reta, sem esforços externos atuantes.

Na realidade, o "reto" geométrico não existe na prática e pode-se considerar a barra ligeiramente curva, conforme representação, de forma exagerada, em (b) da mesma figura.

Se um esforço de tração é aplicado como em (c) da figura, a tendência é uma redução da curvatura, ou seja, uma aproximação com a reta ideal e, com o aumento da força, a falha ocorre devido ao escoamento (plastificação) ou à ruptura do material.

Fig 01

Se a barra é comprimida como em (d) da figura, as forças atuantes tendem a aumentar a curvatura original. Isso não significa que qualquer valor da força de compressão provoca esse aumento. A prática e a teoria demonstram que existe um limite acima do qual a essa falha, denominada flambagem, ocorre.

Esse limite depende do material e das características geométricas da barra.

Em outras palavras, pode-se dizer que a flambagem de uma barra comprimida é a sua perda de estabilidade pela aplicação de um esforço de compressão acima de um valor crítico. Essa instabilidade ocorre devido a pequenas curvaturas conforme acima e também a outros desvios, como assimetrias, excentricidades, desalinhamentos, etc.

É facilmente perceptível que a flambagem fica mais crítica com o aumento da esbeltez da barra, isto é, o aumento do seu comprimento em relação à área da seção transversal.

Em muitos casos as tensões que provocam a flambagem são inferiores às tensões máximas de compressão dos materiais. Assim, a sua análise é importante no caso de elementos esbeltos de máquinas e de estruturas. Para estas últimas, colunas são em geral as partes mais susceptíveis à flambagem.

Equação básica da flambagem elástica

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Conforme Figura 01, uma barra de seção transversal constante está sob flambagem provocada por um esforço de compressão F. Supõe-se que as tensões estão dentro do limite de elasticidade do material.

Se a barra é seccionada em um ponto genérico P(x,y), o momento atuante nesse ponto é M = F y.

Conforme visto em página anterior, a equação diferencial da linha elástica para uma barra sob ação de um momento é

(d²y/dx²) = − M / (E J). Substituindo o valor de M,

(d²y/dx²) = a² y, onde a = √ (F / E J) #A.1#.

Aqui não é dado o desenvolvimento da solução dessa equação diferencial. Apenas o resultado é informado.

y = A cos ax + B sen ax.

Fig 01

As constantes da solução (A e B, neste caso) devem ser obtidas a partir de condições de contorno.

Para x=0, tem-se y=0. Assim, A = 0.

Para x igual à corda OA (=M), y=0. Portanto,

B sen (a M) = 0. Para essa igualdade, conclui-se que B não pode ser nulo porque A já é nulo.

Assim, deve-se ter sen (a M) = 0. Portanto, (a M) = π ou (a M / 2) = π/2.

Para x = M/2, y é a flecha máxima f. Ou y = f = B sen a M / 2. Mas visto que (a M / 2) = π/2. Portanto, B = f e o resultado fica

y = f sen ax, onde f é a flecha máxima e a = √ (F / E J) #B.1#.

Mas a solução ainda está incompleta, pois a flecha f não é previamente conhecida. A dimensão geométrica normalmente conhecida é o comprimento da barra L.

Para pequenas deformações pode-se usar a aproximação L/2 ≈ OB (ou AB). E, do triângulo retângulo OBC,

f² = OB² + (M/2)² ≈ (L/2)² + (M/2)².

Já visto que (a M / 2) = π/2 e a = √ (F / E J). Portanto, (M/2)² = π² E J / (4 F).

Substituindo, f² = L²/4 − π² E J / (4 F). Rearranjando a igualdade,

f/L = (1/2) √ [1 − π² E J / (F L²)]. Essa pode ser reescrita para

f/L = (1/2) √ (1 − K/F), onde K = π² E J / L² #C.1#.

O fator K, que tem a dimensão de força, é denominado força de flambagem de Euler. E pode-se comparar com a forca aplicada F:

• se F ≤ K, f/L é nulo ou imaginário, isto é, não há flambagem.

• se F > K, f/L é real, significando que a flambagem ocorre.

Portanto, K representa o limite para a flambagem elástica de uma barra comprimida.