Problemas hiperestáticos: Introdução e exemplo

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Carregamentos hiperestáticos ou estaticamente indeterminados ocorrem quando as equações fundamentais da estática, ∑F = 0 (ou ∑F_x = 0 e ∑F_y = 0) e ∑M = 0, não são suficientes para determinar os esforços atuantes.

Fig 01

Um exemplo para compressão, é dado pela Figura 01: uma barra vertical de seção transversal constante S, da qual se despreza o peso próprio, engastada em ambas as extremidades.

Se o engaste é feito sem qualquer deformação prévia, não há naturalmente esforços atuantes, como em (a) da figura. Se uma força vertical para baixo F é aplicada em um determinado ponto C conforme (b), é fácil concluir que a parte superior estará sob tração e a inferior sob compressão. E os esforços atuantes serão como em (c) da figura.

Se aplicadas as equações da estática,

A + B = F (considerando apenas os módulos). Desde que somente F é conhecido, não é possível determinar os esforços A e B com apenas uma equação. Notar que é inútil, neste caso, aplicar a soma dos momentos, mesmo em relação a um ponto fora do alinhamento das forças. O resultado será a mesma equação.

Para a solução - e isso sempre ocorre com problemas hiperestáticos - precisa-se considerar uma condição externa de deslocamento de forma a obter uma segunda equação. A geometria do caso mostra que o ponto de aplicação da força se desloca de uma distância d, conforme indicado na figura. Se consideradas separadamente as partes tracionada e comprimida de acordo com (d) e (e) da figura, conclui-se que elas irão sofrer a mesma deformação d.

De acordo com a lei de Hooke, σ = E ε. Ou F / S = E ΔL / L. Isolando ΔL,

ΔL = F L / (E S).

Neste caso, ΔL = d = B b / (E S) = A a / (E S) ou a A = b B. Se substituídos na equação anterior, chega-se aos valores das reações A e B em termos de parâmetros supostamente conhecidos:

A = F b / (a + b) e B = F a / (a + b) #A.1#.

Viga horizontal com três apoios

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A Figura 01 (a) ilustra uma viga horizontal de seção transversal constante com três apoios e submetida às forças externas conhecidas F e H em cada vão. As reações dos apoios são A, C e B. As distâncias horizontais são todas conhecidas, valendo naturalmente a + b = α + β = m+n = L.

Desde que só há forças verticais, de ∑F_y = 0 tem-se em módulo

A + C + B = F + H.

De ∑M = 0 em relação a A, por exemplo, tem-se em módulo

mC + LB = aF + αH.

Há portanto três valores desconhecidos (A, C, B) e duas equações, caracterizando um carregamento hiperestático. Pode-se resolver o problema considerando o fato de ser nulo o valor da linha elástica em C.

Fig 01

Usando o método da superposição, considera-se a situação (a) igual à soma dos carregamentos listados a seguir.

(b) só com atuação da força F, que produz um deslocamento y_F em C.

(c) só com atuação da força H, que produz um deslocamento y_H em C.

(d) só com atuação da força de reação C, que produz um deslocamento y_C em C.

Se em módulos y_C = y_F + y_H, conclui-se que o deslocamento em C é nulo. Assim, a situação equivale ao carregamento (a) e os valores de todas as reações dos apoios podem ser determinados.

Esses três carregamentos simples são do mesmo tipo, isto é, viga biapoiada com carga concentrada em posição genérica. As fórmulas já foram dadas em páginas anteriores, Assim,

(b) y_F é a flecha para x = m.

y_F = [FL³/(6EJ)] (b/L) (a/L)² (n/L) [1 + L/a - n²/ab].

(c) y_H é a flecha para x = m.

y_H = [HL³/(6EJ)] (α/L) (β/L)² (m/L) [1 + L/β - m²/αβ].

(d) y_C é a flecha no ponto de aplicação da força.

y_C = (C m² n²) / (3 E J L).

Para obter um fator comum com as anteriores, multiplicam-se ambos por 2L³

y_C = 2 [CL³/(6EJ)] (mn/L²)².

Voltando à igualdade anterior, y_C = y_F + y_H, faz-se a substituição

2 [CL³/(6EJ)] (mn/L²)² =
[FL³/(6EJ)] (b/L) (a/L)² (n/L) [1 + L/a - n²/ab] + [HL³/(6EJ)] (α/L) (β/L)² (m/L) [1 + L/β - m²/αβ].

Resultando após simplificação:

C = [F b a² / (2 n m²)] [1 + L/a - n²/ab] + [H α β² / (2 m n²)] [1 + L/β - m²/αβ] #A.1#.

Com essa fórmula, a reação C é determinada e as demais (A e B) são obtidas das igualdades do início deste tópico.