Exemplo de torção simples

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Na Figura 01, um eixo de seção circular de comprimento L e diâmetro D transmite um torque T para uma polia na outra extremidade. Apoios (mancais) não são indicados porque não se consideram os esforços de flexão. Apenas os de torção.

Supondo o torque T equivalente à transmissão de uma potência de 4 kW com uma rotação de 1200 rpm e comprimento L de 1,2 m, determinar o diâmetro D, considerando o material aço com G = 78,5 GPa sob os seguintes critérios:

a) Tensão admissível de torção para o aço τ_adm = 70 MPa.

b) Ângulo de torção máximo φ = 0,25º por metro de comprimento.

Fig 01

Notar que, além da tensão admissível, é especificado o máximo ângulo de torção por unidade de comprimento. Isso é comum no caso de eixos, pois uma deformação angular exagerada pode provocar problemas como vibrações.

Convertendo a rotação (ou velocidade angular) para unidades SI,

ω = 1200 rpm ≈ 125,7 rad/s.

Como pode ser visto em página anterior, a relação entre torque, potência e velocidade angular é

P = T ω. Assim, torque T = 4 000 W / (125,7 rad/s) ≈ 31,8 Nm.

Conforme já visto, para a torção vale T = τ_max J_p / R.

O momento polar de inércia J_p para seção circular é π D⁴/32. Para dimensionamento, a tensão máxima τ_max deve ser a tensão admissível do material. Portanto,

T = τ_adm (π D⁴/32) / (D/2) = τ_adm π D³ / 16.

D = [32 T / (π τ_adm)]^1/3 = [16 31,8 Nm / (π 70 000 000 Pa)]^1/3 ≈ 0,013 m.

Portanto, deve-se ter D ≥ 1,3 cm.

Para torção, o ângulo de torção dado por

φ = T L / (J_p G) = T L / [ (π D⁴/32) G ] = 32 T L / (π D⁴ G).

D⁴ = 32 T / [π G (φ/L)]. Neste caso, φ/L = 0,25º/m ≈ 0,00436 rad/m. Substituindo valores,

D⁴ = 32 31,8 Nm / (π 78,5 10⁹ Pa 0,00436 rad/m) ou D ≈ 0,031.

Assim, deve-se ter D ≥ 3,1 cm. E esse critério define o dimensionamento, pois o valor é maior que o calculado com base na tensão admissível.

Exemplo de flexão - Método da superposição

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A Figura 01 (a) representa uma viga de uma plataforma. Na situação real, vigas de estruturas não são biapoiadas, mas sim engastadas. Mas a suposição pode ser válida e dá alguma margem de segurança.

A viga suporta uma carga distribuída uniforme q₁ devido ao peso próprio, outra da mesma espécie q₂ devido ao piso metálico da plataforma e uma carga concentrada F no centro devido à ação de um equipamento sobre a plataforma. Consideram-se os seguintes dados:

• comprimento L = 3,5 m.

• é usado perfil U laminado de aço, tamanho 6" x 12,2 kg/m. Assim, conforme tabelas anteriore, J_x = 546 cm⁴ e W_x = 71,7 cm³. Segundo valor usual para aços, o módulo de elasticidade é E = 206 GPa.

• a carga F é igual a 6900 N, q₂ é 1400 N/m e q₁ deve ser a carga do perfil anterior, isto é, q₁ = 12,2 x 9,81 ≈ 120 N/m.

Verificar se o perfil está adequadamente dimensionado para a solicitação.

É claro que as cargas uniformemente distribuídas podem ser somadas. Portanto, o carregamento da Figura 01 (a) equivale ao (b), onde q = q₁ + q₂ = 1520 N/m.

Fig 01

Para esse carregamento, poder-se-ia levantar matematicamente as curvas de esforços transversais e momentos conforme. Entretanto, a tarefa pode ser mais simples.

Em páginas anteriores, foram vistas as relações entre carregamentos q(x), esforços transversais F_c(x), momentos de flexão M(x) e linha elástica y(x):

dF_c(x) / dx = - q(x).

dM(x) / dx = F_c(x).

d²y/dx² = - M(x) / (E J).

São equações diferenciais lineares e, portanto, pode ser usado o método da superposição. Isso significa que o carregamento (b) da figura pode ser considerado a soma de dois carregamentos mais simples: (c), de uma carga distribuída uniforme e (d), de uma carga concentrada no meio.

Neste exemplo, a análise é ainda mais simples porque os pontos de máximo momento de flexão e máxima deformação são coincidentes (meio da viga). Se isso não ocorre, as curvas dos carregamentos devem ser somadas para obter os valores máximos.

Para os carregamentos (c) e (d), conforme fórmulas já dadas, os momentos máximos são:

M_(c) = q L² / 8 = 1520 N/m (3,5 m)² / 8 = 2327,5 Nm.
M_(d) = F L / 4 = 6900 N 3,5 m / 4 = 6037,5 Nm.

Portanto, M = M_(c) + M_(d) = 8365 Nm.

Desde que o perfil adotado é simétrico em relação ao eixo considerado (x), usa-se igualdade do momento de resistência para a tensão de flexão

σ = M / W = 8365 Nm / 71,7 (10^-2 m)³ ≈ 117 MPa.

As deformações máximas são obtidas por fórmulas já vistas:

y_(c) = (5 q L⁴) / (384 E J) = 5 1520 N/m (3,5 m)⁴ / [384 206 10⁹ Pa 546 (10^-2 m)⁴].

y_(c) ≈ 0,00264 m.

y_(d) = (F L³) / (48 E J) = 6900 N (3,5 m)³ / [48 206 10⁹ Pa 546 (10^-2 m)⁴] ≈ 0,00548 m.

Portanto, y = y_(c) + y_(d) ≈ 0,00812 m.

Comentários

Considerando um aço estrutural com limite de escoamento de 240 MPa, a tensão máxima de flexão calculada (117 MPa) resulta em um coeficiente de segurança perto de 2. Pode ser insuficiente em casos de choques, redução de seção devido à corrosão, existência de furos na viga, soldas e outros.

A deformação máxima representa 1/431 do comprimento total da viga. Para a aplicação, normas indicam uma deformação máxima de 1/360. Portanto, dentro do limite. Consultar normas técnicas para mais dados sobre segurança. Não verificado quanto às tensões de cisalhamento.