Vigas de igual resistência à flexão - Introdução

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A Figura 01 é um exemplo da página anterior, isto é, linha elástica e diagrama de momento de flexão para uma viga em balanço carregada na extremidade.

Notar que o momento de flexão é, em valores absolutos, máximo na extremidade esquerda e decresce até zero na direita.

Fig 01

Se a seção transversal da viga é constante, ela deve ser dimensionada para o esforço máximo na extremidade esquerda e, no restante da viga, ela irá trabalhar com folga, isto é, estará superdimensionada.

Conforme relação básica, a tensão devido à flexão é dada por σ = M / W, onde M é o momento de flexão e W, o módulo de resistência (J/e).

Supondo o trabalho com a tensão admissível do material e considerando que o momento varia com a posição, usam-se os símbolos σ_adm e M(x) respectivamente.

Se se deseja maximizar o aproveitamento de material, cada seção da viga deve suportar a tensão admissível e, portanto, o módulo de resistência W deve variar com a posição, W(x), de forma que

σ_adm = M(x) / W(x) = const.

Nessa igualdade, em princípio, são conhecidos σ_adm (depende do material) e M(x) (depende do carregamento). Desde que W(x) só depende das características geométricas da seção, é fácil concluir que a área da mesma deve variar para manter a igualdade constante.

A formulação matemática é relativamente fácil e aqui não é dado exemplo. Basta escolher um formato do perfil e da viga e indicar parâmetros fixos e variáveis (exemplo: retângulo com largura fixa e altura variável, etc). A tabela do tópico seguinte dá os resultados para alguns arranjos comuns.

Em muitos casos práticos, por questões de custo, facilidade de montagem, funcionalidade, etc, essa alternativa não é usada. Afinal, os perfis precisam ser "fabricados" para cada carregamento. Mas pode ser vantajosa em alguns casos específicos, em especial para vigas em balanço.

Alguns exemplos usuais

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Observações:

a) Reafirmando condições da página inicial e em outras deste site, os melhores cuidados foram procurados na elaboração desta tabela. Entretanto, não há quaisquer garantias e/ou responsabilidades pelo seu uso. Dados para aplicações críticas devem sempre ser verificados em mais de uma fonte.

b) f_max significa flecha máxima.

c) Onde não implícita, é usado asterisco (*) para indicar multiplicação. Barra (/) indica divisão.

d) Os dados informados são teóricos, considerando somente o momento de flexão. Portanto, a seção mínima da viga deve suportar o cisalhamento que existir conforme diagrama de esforços.

Formato	Descrição	Seção maior	Função y	Outros
	Retângulos de altura variável - carga concentrada (início)	h2 = (6 F L) / (b σadm)	y2 = (6 F x) / (b σadm)	fmax = (8F / bE) * (L/h)3
	Retângulos de largura variável - carga concentrada (início)	b = (6 F L) / (h2 σadm)	y = (6 F x) / (h2 σadm)	fmax = (6F / bE) * (L/h)3
	Retângulos de altura variável em dois lados - carga concentrada (início)	h2 = (6 F L) / (b σadm)	y2 = (6 F x) / (b σadm)	fmax = (8F / bE) * (L/h)3
	Retângulos de altura variável - carga distribuída (início)	h2 = (3 q L2) / (b σadm)	y = (h x) / L	fmax = (3qL / bE) * (L/h)3
	Retângulos de largura variável - carga distribuída (início)	b = (3 q L2) / (h2 σadm)	y = b x2 / L2	fmax = (3qL / bE) * (L/h)3
	Retângulos de altura variável - carga distribuída e viga em dois apoios (início)	h2 = (3 q L2) / (4 b σadm)	y2/h2 = 1 − x2/(L/2)2	fmax = (3qL / 16bE) * (L/h)3

Coluna de igual resistência

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Na Figura 01, uma coluna sofre um esforço de compressão de uma carga externa F. Considerando o peso próprio, é fácil concluir que a seção transversal deve aumentar de cima para baixo, se se deseja manter a tensão de compressão constante, ou seja, uma resistência constante à compressão. É suposto que a coluna é feita de um material homogêneo de massa específica μ.

Considera-se o ponto de aplicação de F a origem da coordenada y. Assim, a área da seção transversal é uma função S(y), que deve ser encontrada para manter a tensão constante na coluna.

Para a seção de uma altura genérica y, o volume elementar é dado por dV(y) = S(y) dy.

Fig 01

A força atuante na seção genérica é a soma do peso próprio acima da mesma com F e, dividida pela área, deve ser igual à tensão (constante) na coluna:

[μ g V(y) + F] / S(y) = σ = constante. Ou

μ g V(y) + F = σ S(y). Diferenciando ambos os lados,

μ g dV(y) = σ dS(y). Mas dV(y) = S(y) dy, conforme já visto.

Assim, μ g S(y) dy = σ dS(y) ou S(y) = (σ/μg) dS(y)/dy.

A solução genérica para a equação diferencial é

S(y) = k e ^{(μg/σ) y}. Ela pode ser confirmada com dS(y)/dy = k (μg/σ) e ^{(μg/σ) y}. Ou

(σ/μg) dS(y)/dy = (σ/μg) k (μg/σ) e ^{(μg/σ) y} = k e ^{(μg/σ) y} = S(y).

A constante k pode ser determinada pela condição: para y = 0, S = S₀. Ou k = S₀.

Mas em y = 0 só há a ação de F. Assim, σ = F / S₀ ou k = F / σ. Substituindo na anterior e considerando a tensão admissível do material,

S(y) = (F / σ_adm) e ^(μg/σadm^{) y} #A.1#.

Notar que essa fórmula fornece a área da seção e a variação das dimensões depende da geometria escolhida. Se for retangular com um lado fixo por exemplo, o outro varia com a função dividida pelo valor do lado fixo. Mas se for circular, o raio varia com a raiz quadrada da função dividida por π.