Linha elástica de vigas flexionadas

Topo | Fim

Linha elástica é a curva formada pelo eixo da viga, inicialmente retilíneo, deformado devido à aplicação de momentos de flexão.

A Figura 01 é basicamente a mesma do tópico Fundamentos da flexão simples de página anterior. A distância de dS até LN (linha neutra) é agora simbolizada por u para não confundir com o eixo y.

A experiência demonstra que as seções transversais permanecem planas para pequenas flexões. Em (a) da Figura 01 é suposto que a seção na direção do eixo Y se desviou de um comprimento dl e de um ângulo dβ.

Fig 01

Desde que a variação do ângulo é pequena (dβ), a distância b é dada por

b = u dβ. Portanto, o alongamento ε em relação a dl é

ε = b / dl = u dβ / dl.

Mas dβ/dl é a curvatura K da linha. Assim,

ε = u K.

Por definição o raio de curvatura r é o inverso da curvatura r = 1 / K.

Segundo a lei de Hooke, σ = ε E, onde E é o módulo de elasticidade do material. Substituindo o valor de ε anterior,

σ = u K E.

Da relação básica para a flexão, pode ser deduzido que σ = u M / J. Portanto, u K E = u M / J ou

r = 1 / K = E J / M #A.1#.

E, assim, o raio de curvatura da deformação é dado em função do material (módulo de elasticidade E), da geometria da viga (momento de inércia da seção J) e do momento de flexão M aplicado.

A Figura 02 dá um exemplo de corte longitudinal de uma viga deformada, sem maiores preocupações com proporcionalidade visual dos elementos. O objetivo é obter uma fórmula mais aplicável, isto é, para as coordenadas (x,y) da curva e não para o seu raio de curvatura.

Fig 02

Já visto que 1/r = K = dβ / dl.

Da Figura 02 pode-se ver que tan β = dy/dx. Ou β = atan dy/dx.

Das regras de diferenciação, d(atan u) = du / (1 + u²).

dβ = d[atan(dy/dx)] = d[(dy/dx)] / [1 + (dy/dx)²].

dβ / dx = { d[(dy/dx)] / [1 + (dy/dx)²] } / dx = (d²y/dx²) / [1 + (dy/dx)²].

Pode-se considerar dβ / dl = (dβ / dx) (dx / dl).

Para a determinação do comprimento de uma curva, vale dl/dx = [1 + (dy/dx)²]^1/2. Portanto,

dβ / dl = (d²y/dx²) / { [1 + (dy/dx)²] [1 + (dy/dx)²]^1/2} = (d²y/dx²) / [1 + (dy/dx)²]^3/2.

Para pequenas flexões, que é a situação considerada, o valor de (dy/dx)² (= tan² β) é pequeno em relação a 1 e pode ser desprezado. Portanto,

dβ / dl = K = (d²y/dx²) = − M / (E J), de acordo com #A.1#. O sinal negativo é posto para relacionar corretamente os sentidos das variações. E a linha elástica em coordenadas ortogonais é dada por

(d²y/dx²) = − M(x) / (E J) #B.1#.

Exemplo de cálculo da linha elástica

Topo | Fim

Em página anterior, foi determinada a variação do momento de flexão para uma viga engastada em uma extremidade e submetida a uma força na outra:

M = − F₁ (x₁ − x).

Adaptando a igualdade para a Figura 01 abaixo (F₁ = F e x₁ = L),

M = − F (L − x).

Fig 01

Substituindo esse valor em #B.1# do tópico anterior,

(d²y/dx²) = F (L − x) / (E J).

A derivada de 1ª ordem é obtida pela integração:

dy/dx = ∫ F (L − x) dx / (E J).

dy/dx = (F / EJ) (Lx − x²/2) + A.

Para continuar o processo, é preciso determinar a constante de integração A, o que se faz pela observação de condições em extremidades. Lembrar que dy/dx é a tangente trigonométrica do ângulo β que a tangente geométrica à curva faz com a horizontal (eixo X). Pela geometria do arranjo, Figura 01 (a),

tan β = dy/dx = 0 para x = 0. Substituindo na igualdade anterior, A = 0.

Uma segunda integração resolve o problema

y = ∫ (F / EJ) (Lx − x²/2) dx = (F / EJ) (Lx²/2 − x³/6) + B.

A constante de integração B pode ser determinada pela condição da extremidade engastada, de forma similar à anterior. Neste caso, y = 0 para x = 0 e, portanto, B = 0. E a equação da linha elástica fica

y = (F / EJ) (Lx²/2 − x³/6) #A.1#.

Viga em balanço: outras considerações

Topo | Fim

Desde que as deformações aqui tratadas pressupõem o trabalho apenas na região elástica do material, vigas flexionadas podem atuar como molas em alguns casos. Seja, por exemplo, a viga em balanço do tópico anterior.

Fig 01

Para considerar apenas o deslocamento da força aplicada na extremidade, considera-se x = L na igualdade #A.1# do tópico anterior:

y = (F / EJ) (LL²/2 − L³/6) = L³ F / (3 E J).

Ou F(y) = (3 E J / L³) y #A.1#.

Para uma mesma viga, os valores E, J e L são constantes. Assim, essa igualdade é a característica de uma mola, ou seja, força proporcional ao deslocamento

F(y) = k y, onde k = 3 E J / L³ #A.2#.

Naturalmente, deve valer apenas para pequenos deslocamentos e o peso próprio da viga deve ser desprezível.