Distribuição de tensões em seções retangulares e circulares

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O arranjo da Figura 01 (a) é similar ao do tópico anterior - tópico Distribuição de tensões transversais na flexão Figura 02 (b) - adaptado para uma barra de seção transversal retangular.

O momento estático da área da parte superior (que contém dS) em relação a Y (que coincide com a linha neutra da seção) é dado por:

Fig 01

M_Y = ∫_z,h/2 u b du = (b/2) |_z,h/2 u².

M_Y = (b/2) (h²/4 − z²) = (bh²/8) [1 − (2z/h)²].

O momento de inércia em relação a Y é

J = bh³/12, conforme propiedade da seção retangular, que pode ser vista em página anterior.

Pode-se calcular τ_x pela igualdade vista na página anterior, lembrando que o valor de y, neste caso, é igual a b/2.

τ_x = F M_Y / (2 J y) = F (bh²/8) [1 − (2z/h)²] / [2 (bh³/12) (b/2)].

τ_x = (3/2) (F / bh) [1 − (2z/h)²] #A.1#.

A expressão acima indica uma parábola. Notar que nos pontos extremos (z = h/2 e z = −h/2) o valor da tensão de cisalhamento é nulo. A Figura 01 (b) dá uma representação aproximada.

Neste caso, não cabe a verificação da tensão na borda conforme mencionado na página anterior porque a tangente é vertical (φ = 0 e cos φ = 1).

O valor máximo ocorre para z = 0. Portanto,

τ_{x_max} = (3/2) (F / bh) #A.2#.

Desde que bh é a área da seção, F / bh é a tensão média de cisalhamento. Assim, pode-se dizer que, para a seção retangular, vale

τ_max = (3/2) τ_med #A.3#.


A Figura 02 dá o esquema para seção transversal circular. Para determinar o momento estático da superfície superior (que contém dS), deve-se lembrar que dS = 2r cos α du. Assim,

M_Y = ∫_u=z,u=r 2 r cos α u du.

Considerando que u = r sen α e du = r cos α dα, os valores em termos de α são (notar que para u = z, α = φ e para u = r, α = π/2):

Fig 02

M_Y = 2 r³ ∫_{α=φ,α=π/2} cos²α sen α dα.

M_Y = (2 r³ / 3) cos³ φ.

O momento de inércia em relação a Y é

J = π D⁴ / 64 (ou π r⁴ / 4) , conforme propriedade da seção circular.

Considerando a fórmula vista τ_x = F M_Y / (2 J y) e substituindo os valores (lembrar que y = r cos φ),

τ_x = [4 F / (3 π r²) ] cos²φ. Lembrando que sen φ = z/r e sen²φ + cos²φ = 1,

τ_x = [4 F / (3 π r²) ] [1 - (z/r)²] #B.1#.

A tensão na borda τ_B é dada pela fórmula também mencionada na página anterior, τ_B = τ_x / cos φ:

τ_B = [4 F / (3 ρ r²) ] [1 - (z/r)²]^1/2 #B.2#.

A primeira curva (τ_x) é uma parábola e a segunda (τ_B), uma elipse. Representação na Figura 02 (b).

Desde que z ≤ r, o valor máximo ocorre em z = 0 e é o mesmo para ambas as igualdades:

τ_max = 4 F / (3 π r²) #B.3#.

Como π r² é a área da seção, F / (π r²) é a tensão média de cisalhamento. Portanto, para a seção circular, vale a relação

τ_max = (4/3) τ_med #B.4#.

Fig 03

Distribuição para algumas outras seções (somente resultados)

Para tubos de parede fina, vale aproximadamente

τ_max ≈ 2 F / S #C.1#.

Onde S é a área da seção transversal.

Para perfis comuns tipo Z, U, H, τ_max ≈ F / (t h) #D.1#. A curva do lado direito da Figura 03 dá idéia da distribuição aproximada.

Energia da deformação por flexão simples

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Seja, conforme Figura 01 deste tópico, uma viga submetida a um esforço de flexão simples, não necessariamente uniforme, cujo momento é dado por M(x).

Considera-se um volume elementar, na posição genérica x, de espessura dx, isto é, ou seu volume é dado por

dV = S dx, onde S é a área da seção transversal.

Seja uma área elementar dS na face transversal desse volume. A tensão normal em dS, segundo relação básica já vista para a flexão, é

σ = M(x) z / J_y.

E a força normal é o seu produto pela área F = σ dS = M(x) z dS / J_y.

Fig 01

Considera-se agora a parte da barra de seção transversal dS e comprimento dx. Ela pode ser vista como uma barra sujeita a uma força F, de tração ou compressão, dependendo do sentido do momento e da posição acima ou abaixo da linha neutra. Pode-se usar a fórmula dada em página anterior para a energia de deformação

W = F² L / (2 E S).

Deve-se levar em conta que essa fórmula é válida para tração e compressão. Observar também que o sinal da energia deve ser o mesmo em qualquer caso, pois, tanto na tração quanto na compressão, é fornecida energia para a deformação.

Adaptando a fórmula para este caso (W = dW, L = dx, S = dS), ocorre

dW = F² dx / (2 E dS). Substituindo o valor de F,

dW = M²(x) z² d²S dx / (2 E dS J²_y) = M²(x) z² dS dx / (2 E J²_y). Fazendo a integração,

W(x) = ∫_S dW = [ M²(x) dx / (2 E J²_y) ] ∫_S z² dS.

Mas a parte ∫ z² dS é o momento de inércia J_y em relação à linha neutra. Portanto,

W(x) = M²(x) dx / (2 J_y E) #A.1#.

Considerando o momento constante e integrando ao longo de um comprimento x = L, o resultado é

W = M² L / (2 J_y E) #A.2#.

Notar a semelhança com as fórmulas para outros esforços:

Tração ou compressão: W = F2 L / (2 E S)

Cisalhamento: W = F2 L / (2 G S)

Torção: W = T2 L / (2 Jp G)