Aspectos teóricos sobre carregamentos de vigas

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Em páginas anteriores foram vistos alguns exemplos de diagramas de esforços transversais e momentos de flexão em vigas horizontais, com desenvolvimentos específicos para cada caso. Neste tópico é apresentada uma formulação genérica, que pode não ser diretamente aplicável no caso de cargas discretas, mas permite chegar a algumas conclusões importantes.

A Figura 01 mostra uma viga sob ação de um carregamento distribuído genérico, isto é, não uniforme, dado pela função q(x). As forças A e B são as reações dos apoios.

Desde q(x) é a força por unidade de comprimento, pode-se concluir que, em uma área infinitesimal de posição u e largura du, a força atuante é q(u) du, isto é, a área da porção de superfície da figura.

Fig 01

Em um determinado ponto x, o esforço de cisalhamento F_c é igual à soma das forças atuantes à esquerda do mesmo (que, naturalmente, deve ser igual à soma das forças à direita para preservar o equilíbrio estático). Assim, pode-se escrever

F_c(x) = − ∫_u=0,u=x q(u) du + A #A.1#.

Notar que essa igualdade pode ser considerada decorrente da definição:

dF_c(x) / dx = − q(x) #B.1#. E o valor A pode ser visto como a constante de integração.

E o momento de flexão para um local genérico x é igual à soma dos produtos das forças à esquerda pelas distâncias a esse ponto (que, de forma análoga à anterior, deve ser igual à soma da direita para manter o equilíbrio estático). Portanto,

M(x) = − ∫_u=0,u=x (x − u) q(u) du + A x.

Se se deseja diferenciar M(x) em relação a x, deve-se usar a regra geral para diferenciação de integrais

d[ ∫_a,b f(x,t) dt ] / dx = ∫_a,b { ∂[f(x,t)] / ∂x } dt. Aplicando na equação anterior,

dM(x) / dx = − ∫_u=0,u=x q(u) du + A. Esse resultado é o esforço transversal dado em #A.1#.

Portanto, dM(x) / dx = F_c(x) #C.1#.

Essa igualdade estabelece uma relação matemática entre o momento de flexão e o esforço de cisalhamento. Lembrar que, se a derivada de uma função é nula, ela está em um ponto de valor máximo ou mínimo. Isso pode ser claramente observado nos diagramas das páginas anteriores, inclusive para alguns casos de forças discretas de carregamento.

Distribuição de tensões transversais na flexão

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As tensões de cisalhamento associadas à flexão não se distribuem de maneira uniforme pela seção transversal da barra. Isso não invalida os cálculos de valores a partir dos diagramas, mas eles devem ser considerados médios e, portanto, podem existir valores localizados significativamente acima da média.

Fig 01

A Figura 01 representa uma barra supostamente sob ação de flexão no plano XZ.

Supõe-se agora um pequeno trecho de largura Δx conforme indicado. Este último, por sua vez, é cortado por um plano P_z, paralelo ao plano XY e situado a uma altura z do eixo X.

A Figura 02 representa em (a) o corte do plano XZ e, em (b), o corte de um plano paralelo a YZ. O eixo Y coincide com a linha neutra da seção transversal.

Conforme (a) da Figura 02, o lado esquerdo do trecho é nomeado 1 e o direito, 2. Considerando somente a parte acima da linha neutra, as tensões normais σ₁ e σ₂ variam linearmente de zero até um valor máximo na extremidade superior. Conforme visto em página anterior, o valor máximo é

M e / J, onde J é o momento de inércia da seção S_yz em relação a Y. Portanto, para um valor qualquer de z = u,

σ₁(u) = M u / J #A.1#.

Para a face direita, o momento é M + ΔM e, assim,

σ₂(u) = (M + ΔM) u / J #A.2#.

Em (a) da Figura 02, σ_x é a tensão de cisalhamento na superfície do plano P_z (Figura 01) entre as duas seções separadas de Δx. Portanto, essa superfície tem dimensões Δx e 2y, como pode ser visto em (a) e (b) da Figura 02.

Fig 02

Para manter o equilíbrio estático, as forças correspondentes a τ_x, σ₁(u) e σ₂(u) devem anular-se:

− τ_x Δx 2y − ∫ σ₁ dS + ∫ σ₂ dS = 0. Ou

− τ_x Δx 2y + ∫ (σ₂ − σ₁) dS = 0.

Das igualdades #A.1# e #A.2#,

(σ₂ − σ₁) = ΔM u / J. Assim,

τ_x Δx 2y = (ΔM / J) ∫ u dS. Reagrupando a igualdade, τ_x = (ΔM / Δx) (1 / 2y J) ∫ u dS.

Desde que se considera a superfície S_yz em (b) da Figura 02, essa integração vai de u = z até u = e.

A expressão ∫_u=z,u=e u dS é o momento estático M_Y de S_yz em relação ao eixo Y.

Na situação limite, ΔM / Δx = dM / dx, que, conforme tópico anterior, deve ser igual à força de cisalhamento F. E o valor final da tensão é

τ_x = F M_Y / (2 J y) #B.1#.

Desde que tensões de cisalhamento aparecem sempre aos pares, deve-se ter

τ_z = τ_x #B.2#.

Demonstra-se também que tensões nas bordas são tangentes às mesmas. Exemplo: ponto B de (b) da Figura 02. E são ainda maiores para um dado z, valendo

τ_B = τ_x / cos φ #B.3#.

Onde φ é o ângulo que ela faz com o eixo Z.