Viga engastada com uma carga na extremidade

Topo | Fim

Este é um exemplo que pode ocorrer em várias situações práticas: uma viga engastada em uma extremidade suporta uma carga vertical na outra, conforme (a) da Figura 01. Também denominada viga em balanço.

Fig 01

Considera-se apoio o engaste na coordenada x=0. De ∑ F_y = 0, ocorre F₀ = F₁ (em módulo).

De ∑ M = 0 (em relação a 0 por exemplo), tem-se

M₀ = F₁ x₁ (também em módulo).

Notar que há necessariamente um momento no apoio, pois não há outra força para compensar a ação de F₁.

Analisando uma parte de comprimento x conforme (b) da figura, para o cisalhamento ocorre F_c = F₀ = F₁ = constante. E o sinal é positivo, de acordo com critérios já informados.

Para o momento, M = M₀ − F_c x ou M = F₁ x₁ − F₁ x = F₁ (x₁ − x). E deve ser negativo de acordo com os critérios mencionados.

Portanto M = − F₁ (x₁ − x). A equação do momento é uma reta com valor absoluto máximo igual a F₁ x₁ para x = 0.

Viga engastada com carga distribuída

Topo | Fim

Este problema é similar ao do tópico anterior, diferindo no carregamento, que é distribuído. A sua força equivalente é q x₁. Assim, de ∑ F_y = 0, tem-se em módulo:

Fig 01

F₀ = q x₁.

De ∑ M = 0 (em relação a 0) e considerando que a força equivalente atua em x₁/2, também em módulo,

M₀ = q x₁ x₁ / 2 = q x₁² / 2.

De acordo com o trecho genérico em (b) da figura, o cisalhamento é dado por:

F_c = F₀ − q x = q x₁ − q x = q (x₁ − x).

É uma reta de valor q x₁ em x = 0 e 0 em x = x₁.

De ∑ M = 0, em (b) da figura e em relação a 0, deduz-se a variação do momento:

M = M₀ − q x x / 2 = q x₁² / 2 − q x² / 2. Mas deve ser negativo conforme convenção adotada. Assim,

M = q x² / 2 − q x₁² / 2 = (q / 2) (x² − x₁²). Para x = 0, em módulo vale M = q x₁² / 2, que é o seu valor máximo.

Viga apoiada com momento concentrado

Topo | Fim

Um esforço de torção também pode ser visto como um carregamento. Veja exemplo na Figura 01 (a). A posição do apoio esquerdo foi invertida para proporcionar a correta reação.

Fig 01

De ∑ F_y = 0, nota-se que as reações em cada apoio são iguais em módulo e de sinais invertidos: F₀ + F₂ = 0 ou F₀ = − F₂.

De ∑ M = 0 (em relação a 2) tem-se em módulo:

F₀ x₂ = M₁ ou F₀ = M₁ / x₂.

De acordo com a porção genérica em (b) da figura, ocorre para o cisalhamento:

F_c = F₀ = M₁ / x₂ = constante (em módulo).

De acordo com as convenções estabelecidas, o cisalhamento deve ser negativo conforme indicado no gráfico.

Considerando a mesma parte genérica (b), o momento de flexão entre os pontos 0 e 1 é:

M = F₀ x = (M₁ / x₂) x. E o sinal deve ser positivo conforme convenções.

Entre os pontos 1 e 2 precisa-se considerar a ação do momento externo M₁:

M = M₁ − (M₁ / x2) x = M₁ (1 − x / x₂). E o sinal deve ser negativo pois, nessa parte, as fibras inferiores da barra são tracionadas.

O gráfico, conforme Figura 01 (b), mostra que os maiores momentos estão no ponto de aplicação do momento externo (x₁). Portanto, basta verificar, entre as duas igualdades anteriores, a de maior valor absoluto nesse ponto.