Viga apoiada com várias cargas concentradas

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Em página anterior, foi visto exemplo do diagrama para viga apoiada com uma carga concentrada. Isso pode ser considerado caso particular de uma situação mais genérica, ou seja, viga com mais de uma carga concentrada.

A Figura 01 (a) deste tópico dá um exemplo para três forças F₁, F₂ e F₃, supostamente conhecidas, bem como os respectivos pontos de aplicação (x₁, x₃ e x₃) e o comprimento total x₄. As forças F₀ e F₄ são as reações dos apoios.

Da condição de equilíbrio ∑ F_y = 0, ocorre F₀ + F₄ = F₁ + F₂ + F₃.

Da condição ∑ M = 0 (em relação a 0 por exemplo), F₄x₄ = F₁x₁ + F₂x₂ + F₃x₃.

Portanto,

F₄ = (F₁x₁ + F₂x₂ + F₃x₃) / x₄.

F₀ = F₁ + F₂ + F₃ − F₄.

Ou seja, F₀ e F₄ são formulados em função de parâmetros conhecidos.

Fig 01

Na figura 01 (b), uma parte da viga, de comprimento menor que x₁. Pela condição de equilíbrio dada pela soma das forças verticais igual a zero, o cisalhamento é igual à reação do apoio esquerdo, isto é,

F_c = F₀. Sendo F₀ calculado conforme igualdade anterior. Ver gráfico em (c).

Para o trecho entre 1 e 2, o cisalhamento sofre a contribuição de F₁, atuante em sentido contrário. Assim, F_c = F₀ − F₁.

De forma análoga, pode-se verificar que entre 2 e 3 vale F_c = F₀ − F₁ − F₂. E, para o trecho entre 3 e 4, há a relação:

F_c = F₀ − F₁ − F₂ − F₃.

O sentido do cisalhamento começa positivo, de acordo com critérios já vistos.

Para os momentos de flexão, entre 0 e 1, ocorre M = F₀ x. E para o trecho entre 1 e 2,

M = F₀ x − F₁ (x − x₁) = (F₀ − F₁) x + F₁x₁.

Para a parte entre 2 e 3:

M = F₀ x − F₁ (x − x₁) − F₂ (x − x₂) = (F₀ − F₁ − F₂) x + F₁x₁ + F₂x₂.

Para o trecho 3-4, pode-se fazer a analogia direta:

M = (F₀ − F₁ − F₂ − F₃) x + F₁x₁ + F₂x₂ + F₃x₃. E o gráfico é algo parecido com a Figura 01 (d).

Para a última igualdade, se é feito x = x₄, tem-se

M = (F₀ − F₁ − F₂ − F₃) x₄ + F₁x₁ + F₂x₂ + F₃x₃.

Mas (F₀ − F₁ − F₂ − F₃) = − F₄ conforme já visto e F₄x₄ = F₁x₁ + F₂x₂ + F₃x₃.

Ou M = −F₄ x₄ + F₄ x₄ = 0, que é um resultado esperado, pois não pode haver momento em extremidades apoiadas em cutelos.

Este exemplo foi dado para 3 forças, mas pode-se notar que é facilmente adaptável para qualquer número delas.

Viga apoiada com carga uniformemente distribuída

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Nos exemplos vistos até aqui, a função matemática das forças aplicadas em razão da posição F = f(x) é uma função discreta, isto é, o seu valor só é diferente de zero em determinados pontos.

Um carregamento é distribuído se as forças atuam em todos os pontos no trecho considerado. Nesse caso, o valor é especificado em termos de força por unidade de comprimento q (newton por metro, por exemplo). E o carregamento é dito uniformemente distribuído se o valor de q é constante no trecho considerado.

No carregamento da Figura 01 (a), uma carga uniformemente distribuída q atua em toda a extensão da viga. Exemplo comum para isso é o peso próprio da viga.

Fig 01

A força equivalente de uma carga uniformemente distribuída é igual ao produto do seu valor q pelo comprimento considerado, com atuação no ponto médio do mesmo.

Portanto, a força no total da viga é q x₁, atuando em x₁/2.

A condição de equilíbrio ∑ F_y = 0 e a simetria permitem deduzir as reações dos apoios:

F₀ = F₁ = q x₁ / 2.

Numa parte genérica de comprimento x conforme (b) da figura, a condição ∑ F_y = 0 determina o cisalhamento:

F_c = F₀ − q x.

Ou F_c = q x₁ / 2 − q x. Portanto, uma reta com valor F₀ para x=0 e −F₀ para x = x₁.

Para os momentos, considerando ∑ M = 0 para o ponto x, tem-se:

M = F₀ x − q x x / 2 = − (q/2) x² + F₀ x.

Isso é a equação de uma parábola e pode ser visto que tem valores nulos nos extremos (x = 0 e x = x₁). E o gráfico tem a forma dada na Figura 01 (d).

Notar que as formulações para o cisalhamento e para o momento são contínuas porque a força aplicada tem atuação também contínua.

A simplicidade do caso permite deduzir que o momento máximo se encontra no ponto médio. Formalmente, pode ser encontrado com a hipótese da derivada do momento em relação a x igual a zero e posterior solução da equação diferencial:

dM/dx = − (q/2) 2 x + F₀ = 0. Ou −q x = − q x₁ / 2. Portanto, x = x₁ / 2.