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Forças e momentos internos em vigas |
Topo | Fim |
Vigas horizontais carregadas são elementos comuns na prática e o dimensionamento exige a determinação das tensões internas em função da(s) carga(s) aplicada(s).
Seja, conforme Figura 01 (a), uma viga horizontal com um carregamento genérico F(x) ao longo do seu comprimento. A simples dedução lógica permite concluir que esta viga está internamente submetida a esforços de cisalhamento e flexão.
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| Fig 01 |
Algumas referências usam os termos esforço cortante para o cisalhamento e momento fletor para o momento de flexão.
Também pode ser encontrada a expressão força transversal para o cisalhamento.
Em geral adotam-se as convenções de sinais como em (b) e (c), isto é, cisalhamento positivo tende a girar cada parte no sentido horário e momento positivo tende a tracionar a parte inferior e comprimir a parte superior da viga (obs: os sinais de cisalhamento e momento da figura não têm relação com o carregamento indicado).
Diagramas de esforços em vigas |
Topo | Fim |
A Figura 01 (a) dá exemplo de um dos carregamentos mais simples: uma viga apoiada em dois cutelos com uma única carga vertical F1. O apoio sobre cutelos garante que não há momentos nas extremidades e que não há forças longitudinais se o carregamento é vertical, pois o cutelo direito está sobre rolos.
Considerando a origem das coordenadas x = 0, um problema típico consiste em determinar os esforços ao longo da viga conhecidos os valores de F1, o seu ponto de aplicação x1 e o comprimento da viga x2.
O esquema das forças atuantes na viga é dado em (b) da figura. F0 e F2 são as reações dos apoios. Notar que é uma viga estaticamente determinada, isto é, todas as forças podem ser calculadas pela aplicação das condições de equilíbrio estático (soma das forças nulas e também dos momentos).
De ∑ Fy = 0, ocorre
F1 = − F0 − F2.
De ∑ M = 0 (em relação ao ponto 0 por exemplo),
F1 x1 = − F2 x2.
A condição ∑ Fx = 0 não se aplica por não existir força nesse sentido.
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| Fig 01 |
F0 = − F1 − F2 = − F1 + F1 x1 / x2. Ou
F0 = − F1 (x2 − x1) / x2.
Considera-se agora um trecho genérico de 0 a um ponto x, à esquerda de 1, conforme (c) da figura.
Aplicando a condição de equilíbrio ∑ Fy = 0, em módulo, Fc = F0. E o cisalhamento interno é positivo conforme critério do tópico anterior.
Assim, do ponto 0 até 1,
Fc = F0.
É fácil deduzir que do ponto 1 ao ponto 2 vale Fc = F0 + F1 = − F2.
Novamente se considera o ponto x à esquerda do ponto 1 conforme figura.
Aplicando a condição ∑ M = 0 em relação a x,
M = x F0 (positivo conforme critério do tópico anterior).
Entre os pontos 1 e 2, M = x F0 − (x − x1) F1.
Substituindo os valores de F0 e F1 conforme já calculado,
Entre 0 e 1: M = F1 (x2 − x1) x / x2. Portanto,
Para x = 0, M = 0.
Para x = x1, M = F1 (x2 − x1) x1 / x2.
Entre 1 e 2: M = x F0 − (x − x1) F1 = x (F0 − F1) + x1 F1. Mas F0 − F1 = − F2. Assim,
M = − x F1 x1 / x2 + x1 F1 = F1 (x1 − x1 x / x2 ) = F1 x1 (1 − x / x2 ). Portanto,
Para x = x2, M = 0.
Para x = x1, M = F1 x1 (1 − x1 / x2) = F1 x1 (x2 − x1) / x2 . Notar que é igual ao valor do trecho anterior. E o gráfico é conforme (e) da figura.
E os valores máximos são dados por:
Fc_max = max (F0, F2) com F0 = F1 (x2 − x1) / x2 e F2 = F1 x1 / x2.
Mmax = F1 (x2 − x1) x1 / x2.
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