Fundamentos da flexão

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Flexão é um esforço comum, conforme mencionado na primeira página desta série. É também um dos mais desfavoráveis, mas não pode ser evitado em muitos casos. Elementos sujeitos à flexão podem ser vistos em edificações, estruturas, máquinas e em muitos outros lugares.

Na Figura 01 (a), uma barra de seção transversal retangular sofre esforços de flexão por forças atuantes em um plano que passa por um dos eixos centrais de inércia da seção. Essa situação é denominada flexão simples.

Se o plano não passa por um eixo central, como em (b) da mesma figura, ocorre a flexão oblíqua.

Fig 01

A flexão simples acontece (ou assim pode ser considerada) em muitos casos práticos e, evidentemente, é a de formulação mais fácil. Por isso, ela será o objeto principal desta página.

A Figura 02 (a) representa uma pequena parte da vista lateral de uma barra de seção transversal genérica conforme (b), submetida à flexão provocada por um momento M.


A geometria da deformação sugere (e realmente acontece) que uma parte (a superior neste caso) da seção transversal está sob esforços normais de compressão e outra parte (inferior), de tração. A linha que divide essas duas partes é denominada linha neutra (LN) porque, naturalmente, as tensões ao longo da mesma são nulas.

Também pode ser constatado experimentalmente que as tensões em pontos de linhas paralelas à neutra são iguais e variam linearmente com a distância vertical y. Assim, no gráfico da Figura 02 (c), as tensões variam de um máximo de compressão σ₁ na extremidade superior da seção transversal (distância e₁ da linha neutra) até um máximo de tração σ₂ na extremidade inferior (distância e₂ da linha neutra).

Com a linearidade mencionada, a tensão σ em um ponto situado a uma distância genérica y da linha neutra pode ser dada por

σ = (σ₁ / e₁) y #A.1#.

Aplicando a primeira condição de equilíbrio estático (∑F_x=0), tem-se

Fig 02

∫ F_x = ∫ σ dS = ∫ (σ₁/e₁) y dS = 0.

(σ₁/e₁) ∫ y dS = 0.

O termo ∫ y dS é o momento estático da superfície em relação a LN. Se há flexão, σ₁/e₁ não é nulo e, assim, o momento estático ∫ y dS deve ser zero.

Conclui-se então que a linha neutra passa pelo centro de gravidade da seção transversal.

Por enquanto, não será considerada a segunda condição de equilíbrio estático (∑F_y=0), uma vez que isso implica a existência de tensões de cisalhamento, que realmente ocorrem e serão vistas posteriormente.

Para a terceira condição de equilíbrio (∑M_i=0), deve-se ter a soma dos momentos internos igual ao momento M aplicado externamente:

M = ∫ y σ dS = ∫ y (σ₁/e₁) y dS = (σ₁/e₁) ∫ y² dS.

Mas o fator ∫ y² dS é o momento de inércia J em relação à linha neutra. Portanto, σ₁ J / e₁ = M.

Dessa igualdade pode-se isolar o valor de σ₁ e combinar com a igualdade anterior #A.1#. Usa-se procedimento similar para σ₂, resultando nas equações básicas da flexão simples:

σ₁ = M e₁ / J #B.1#.

σ₂ = M e₂ / J #B.2#.

Ou seja, as tensões máximas de tração e compressão estão localizadas nas extremidades da seção transversal e são dadas em função do momento de flexão aplicado, das distâncias dessas extremidades em relação à linha neutra e do momento de inércia em relação à mesma linha.

Notar que, no caso da Figura 02, σ₁ é compressão e σ₂, tração. Mas será o contrário se o momento externo for invertido.

Considerando a definição de momento ou módulo de resistência W, as igualdades anteriores podem ser escritas da forma:

σ₁ = M / W₁ #C.1#. Onde W₁ = J / e₁.

σ₂ = M / W₂ #C.2#. Onde W₂ = J / e₂.

O dimensionamento é feito pela comparação com as tensões admissíveis:

σ₁ ≤ σ_1adm #D.1#.

σ₂ ≤ σ_2adm #D.2#.

Onde σ_1adm e σ_2adm são as tensões admissíveis para tração e compressão ou vice-versa conforme já comentado.


Se a seção transversal é simétrica em relação à linha neutra (LN), e₁ = e₂ = e. Por conseqüência, W₁ = W₁ = W. E as igualdades anteriores, #C.1# e #C.2#, ficam reduzidas a uma

σ = σ₁ = σ₂ = M / W #E.1#.

Nesse caso, a tensão máxima de tração é igual à máxima de compressão.


Das relações acima, conclui-se que o conhecimento do momento de inércia e/ou módulos de resistência da seção transversal é fundamental no cálculo da flexão. Fórmulas para as geometrias mais comuns são dadas em página posterior.