Alguns casos particulares de tensões no espaço

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A Figura 01 dá exemplos do círculo de Mohr para tensões no espaço em alguns casos particulares.

Em (a), todas as tensões principais têm o mesmo valor, isto é, σ₁ = σ₂ = σ₃, e as tensões de cisalhamento são nulas, isto é, τ₁ = τ₂ = τ₃ = 0.

Fig 01

Essa situação só pode ocorrer com um fluido submetido a uma determinada pressão. Chamado, portanto, de condição hidrostática.

Em (b) e em (c), duas das três tensões principais são iguais e ocorre uma condição semi-hidrostática.

Em (d) e em (e), as duas tensões principais nulas, representando um estado simples de tensão (tração ou compressão).

Em (f) tem-se σ₂ = 0 e σ₁ = − σ₃, representando um estado de cisalhamento simples, similar à condição vista para tensões planas.

Exemplo numérico para tensões no espaço

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Seja um material sujeito às tensões nas direções das coordenadas de referência XYZ, com valores numéricos dados pela Figura 01. Deseja-se saber as tensões principais, normais e de cisalhamento.

Fig 01

Conforme convenções da página anterior, os valores com sinais são

σ_x = 120 MPa
σ_y = −20 MPa
σ_z = 70 MPa

τ_xy = τ_yx = −40 MPa
τ_yz = τ_zy = 50 MPa
τ_xz = τ_zx = 25 MPa

Segundo igualdade vista em página anterior, as tensões normais são as soluções da seguinte equação do terceiro grau

σ³ − A σ² + B σ − C = 0. E as fórmulas para os coeficiente A, B e C são:

A = σ_x + σ_y + σ_z = 120 + (−20) + 70 = 170 MPa.

B = σ_x σ_y + σ_y σ_z + σ_x σ_z − τ²_xy − τ²_yz − τ²_xz.
B = 120 (−20) + (−20) 70 + 120 70 − (−40)² − 50² − 25².
B = −2400 − 1400 + 8400 − 1600 − 2500 − 625 = − 125 MPa².

C = σ_x σ_y σ_z + 2 τ_xy τ_yz τ_xz − σ_x τ²_yz − σ_y τ²_xz − σ_z τ²_xy.
C = 120 (−20) 70 + 2 (−40) 50 25 − 120 50² − (−20) 25² − 70 (−40)².
C = − 168000 + 100000 − 300000 + 12500 − 112000 = − 478750 MPa³.

E a equação anterior fica σ³ − 170 σ² − 125 σ + 478750 = 0.

Fig 02

As soluções para essa equação podem ser vistas graficamente na Figura 02 ao lado.

Em outras palavras, são os valores de σ que fazem a função

F(σ) =  σ³ − 170 σ² − 125 σ + 478750 ter valor igual a zero.

Para determinar os valores numéricos, pode-se empregar um método de aproximações sucessivas que encontre uma das soluções.

Aqui é usado o método da bisseção (ou bissecção). É simples, embora a convergência não seja tão rápida porque é um processo linear. A Figura 03 abaixo dá o princípio para uma função genérica F(x).

Fig 03

Escolhem-se dois valores arbitrários x₁ e x₂ tais que F(x₁) F(x₂) < 0. Assim, pelo menos uma solução, F(x) = 0, está entre x₁ e x₂.

Se o produto F(x₁) F(x_m) é positivo, o próximo valor de x₁ é x_m e x₂ permanece. Caso contrário, o próximo valor de x₂ é x_m e x₁ permanece. Continuando o procedimento, os valores médios se aproximam da solução conforme indicado na figura (x_m, x_m', etc).

Para determinar o valor exato, precisar-se-ia da impossibilidade prática de infinitos passos. Num procedimento real, pode-se estabelecer um intervalo mínimo delta = x₂ − x₁, executando as iterações até esse valor. E um código em Visual Basic para o método com a equação dada para as tensões principais seria:

Function func_x(x)
    func_x = x ^ 3 - 170 * x ^ 2 - 125 * x + 478750
End Function

Sub bissec()
    Dim x1, x2, xm, delta
    delta = 0.0001
    x1 = -100
    x2 = 50
    Do While (x2 - x1) > delta
        xm = (x2 + x1) / 2
        If ((func_x(x1) * func_x(xm)) > 0) Then
            x1 = xm
        Else
            x2 = xm
        End If
    Loop
    Worksheets("Plan1").Cells(1, 1).Value = xm
End Sub

Esse código é, na realidade, uma macro em uma planilha Excel que considera: delta = 0.0001, x1 = −100, x2 = 50. O resultado é dado na célula A1 da planilha "Plan1": A1 ≈ −47,23 MPa. Supõe-se que esse é o valor de σ₃. Pode-se considerar σ₁ ou σ₂. Neste caso, precisa-se apenas permutar os valores finais de forma que σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃, satisfazendo à convenção adotada.

Conforme relações da página anterior (substituindo o valor de σ₃ e das constantes),

σ₁ + σ₂ − 47,23 = 170.

σ₁ σ₂ + σ₂ (−47,23) + σ₁ (−47,23) = −125.

σ₁ σ₂ (−47,23) = − 478750.

Combinando a 1ª e a 2ª equação,

σ₁ + 478750/(47,23 σ₁) = 217,23. Ou 47,23 σ₁² + 478750 = 10259,8 σ₁.

Ou 47,23 σ₁² − 10259,8 σ₁ + 478750 = 0.

Essa é uma equação comum do segundo grau e as duas soluções devem ser entendidas como σ₁ e σ₂. Resolvendo e considerando a solução σ₃ anterior (≈ −47,2), chega-se aos resultados

σ₁ ≈ 149,4 MPa, σ₂ ≈ 67,9 MPa e σ₃ ≈ −47,2 MPa.