Tensões principais

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No tópico anterior, foram vistas relações entre tensões em um plano qualquer e tensões em planos do sistema de coordenadas. Mas isso não é tudo. Em geral, o que se deseja saber é algo similar à situação de tensões planas, ou seja, os valores máximos que ocorrem.

No caso de tensões no plano, há dois eixos principais nos quais só atuam tensões normais. Deduzindo para as tensões no espaço, é lógico supor (e realmente ocorre) que existem três planos principais, ortogonais entre si, sobre os quais só atuam tensões normais. Ou seja, as tensões de cisalhamento são nulas nesses planos.

As tensões normais atuantes nesses planos são ditas tensões principais e são designadas por  σ₁, σ₂ e σ₃.

Uma das três tensões principais é a máxima que ocorre e outra, a mínima. Para isso, é adotada a convenção

Fig 01

σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ #A.1#.

Também de forma similar ao estado duplo, as tensões extremas de cisalhamento ocorrem nos planos bissetores dos principais. São demoninadas tensões principais de cisalhamento e são dadas por:

τ₁ = (σ₂  − σ₃) / 2 #B.1#.
τ₂ = (σ₁  − σ₃) / 2 #B.2#.
τ₃ = (σ₁  − σ₂) / 2 #B.3#.


A determinação das tensões principais é matematicamente mais complexa do que a do estado duplo. Envolve conceitos de autovalores e autovetores. Aqui é apresentado apenas o resultado na forma de soluções para a equação abaixo.

σ³ − A σ² + B σ − C = 0 #C.1#.

Essa equação tem 3 soluções, correspondentes às tensões principais mencionadas. Os coeficientes A, B e C são calculados por:

A = σ_x + σ_y + σ_z #D.1#.

B = σ_x σ_y + σ_y σ_z + σ_x σ_z − τ²_xy - τ²_yz − τ²_xz #D.2#.

C = σ_x σ_y σ_z + 2 τ_xy τ_yz τ_xz − σ_x τ²_yz − σ_y τ²_xz − σ_z τ²_xy #D.3#.

Demonstra-se que os coeficientes A, B e C são constantes em qualquer direção para a mesma matriz de tensões. Assim, as igualdades anteriores devem valer também para as tensões principais, caso em que são nulas as de cisalhamento conforme já dito. Portanto,

σ₁ + σ₂ + σ₃ = A #E.1#.

σ₁ σ₂ + σ₂ σ₃ + σ₁ σ₃ = B #E.2#.

σ₁ σ₂ σ₃ = C #E.3#.

Círculo de Mohr para tensões no espaço

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Em página anterior foi demonstrado que o estado plano de tensões pode ser graficamente representado pelo círculo de Mohr.

Fig 01

Na Figura 01, é suposto que as faces do volume coincidem com os planos principais. Portanto, cada uma está sujeita somente às tensões principais σ₁, σ₂ e σ₃.

Considera-se um eixo fixo que passa por σ₃, em torno do qual o cubo gira. Nessa situação, as tensões atuantes nas faces de σ₁ e σ₂ se comportam como um estado duplo e podem ser representadas pelo círculo de Mohr de centro C₃ (Figura 02).

A tensão σ₃, perpendicular ao plano considerado, não afeta o comportamento. Usando o mesmo raciocínio para os demais eixos, chega-se ao conjunto de círculos da Figura 02.

Fig 02

É possível demonstrar que, para rotações em torno de outros eixos, os pontos de tensões se localizam na área cinza da figura.

As tensões máximas de cisalhamento indicadas (τ_max1, τ_max2 e τ_max3) são as máximas para rotações em torno de cada eixo perpendicular a um plano principal conforme já comentado.

As coordenadas dos centros são calculadas pelas expressões a seguir.

C₁[ (σ₂+σ₃)/2, 0 ] #A.1#.

C₂[ (σ₁+σ₃)/2, 0 ] #A.2#.

C₃[ (σ₁+σ₂)/2, 0 ] #A.3#.

E os valores extremos são: σ_max = σ₁, σ_min = σ₃ e τ_max = τ_max2.