Tensões no espaço

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Nas páginas anteriores foram dados os princípios básicos da análise de tensões em um plano. Na prática, os corpos são sempre tridimensionais, mas em vários casos as tensões mais importantes atuam em determinado plano (ou mesmo em determinado eixo) e as demais podem ser desprezadas. Mas pode haver situações em que as tensões nos três eixos são relevantes e não devem ser desconsideradas.

Para a análise, considera-se um volume em forma de paralelepípedo do corpo a estudar. Ver Figura 01 deste tópico. Conforme pode ser deduzido do estudo da página anterior, cada face é submetida a uma tensão normal e a uma tensão transversal.

Fig 01

Uma superfície genérica (não paralela a nenhum eixo) pode ser dada pelo plano ABC que divide o paralelepípedo pela metade. Portanto, o objeto geométrico do estudo é o tetraedro OABC conforme Figura 02 (não está na mesma proporção da figura anterior).

Em cada face perpendicular a um eixo atuam as tensões normais e transversais indicadas. No centro de gravidade G_ABC do plano ABC atua uma tensão ρ (vetor. Usada a convenção negrito) cujos componentes são ρ_x, ρ_y e ρ_z conforme canto superior esquerdo da figura.


E pode-se escrever a soma vetorial ρ = ρ_x + ρ_y + ρ_z #A.1#.

Sejam u_x, u_y e u_z os vetores unitários para os respectivos eixos de coordenadas. Assim,

ρ = ρ_x u_x + ρ_y u_y + ρ_z u_z #A.2#.

Seja u_N um vetor unitário normal à superfície ABC. Em termos de componentes

u_N = u_Nx + u_Ny + u_Nz = cos α_x u_x + cos α_y u_y + cos α_z u_z #A.3#. Onde

α_x, α_y, α_z são os ângulos da normal com os eixos de coordenadas.

Vale também observar que a condição de equilíbrio ∑M = 0 permite deduzir as igualdades em pares das tensões transversais:

Fig 02

τ_xy = τ_yx #B.1#.
τ_xz = τ_zx #B.2#.
τ_yz = τ_zy #B.3#.

O equilíbrio estático permite concluir:

ρ_x = − (σ_x u_Nx + τ_xy u_Ny + τ_xz u_Nz) #C.1#.
ρ_y = − (τ_yx u_Nx + σ_y u_Ny + τ_yz u_Nz) #C.2#.
ρ_z = − (τ_zx u_Nx + τ_zy u_Ny + σ_z u_Nz) #C.3#.

Em termos escalares, considerando as igualdades #C.1# a #C.3# e #A.3#, pode-se representar os componentes na forma de produto de matrizes. Ver Figura 03.

ρx ρy ρz  =  σx τxy τxz τyx σy τyz τzx τzy σz  ×  cos αx cos αy cos αz  #D.1#

Fig 03

A segunda matriz (central) é denominada matriz de tensões ou tensor dos esforços no espaço.

E o módulo da tensão σ, normal à superfície ABC, é dado pelo produto escalar

σ = ρ · u_N #E.1#.

Para o componente transversal τ, o módulo é dado por

τ² = ρ · ρ − σ² #E.2#.