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Círculo de Mohr: exemplo numérico 01 |
Topo | Fim |
Seja o estado de tensão dado em (a) da Figura 01. Determinar o círculo de Mohr correspondente, bem como as tensões principais, a sua direção e o cisalhamento máximo. Considerar valores em kPa.
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| Fig 01 |
Os pontos do círculo, correspondentes às tensões dos eixos X e Y, são
C(σx, +τxy) = C(4000, 1000).
D(σy, −τxy) = C(3000, −1000).
Conforme página anterior, esses pontos são diametralmente opostos e, portanto, o centro O fica definido pela interseção de CD com o eixo horizontal e o círculo pode ser traçado.
O valor do raio pode ser obtido de forma mais precisa pela fórmula dada
R2 = [ (σx − σy) / 2 ]2 + τxy2 = [ (4000 − 3000) / 2 ]2 + 10002 ≈ 1118 kPa.
A tensão média é dada por σm = (σx + σy) / 2 = (4000 + 3000) / 2 = 3500 kPa. Portanto, o centro tem as coordenadas O(3500, 0). E as tensões principais são dadas pelo valor de σ em A e em B
σ1 = 3500 + 1118 = 4618 kPa e σ2 = 3500 − 1118 = 2382 kPa.
O cisalhamento máximo é dado pelo valor de τ em E, ou seja, τmax = 1118 kPa.
A direção do eixo principal (φp) é indicada graficamente pela linha BC e o valor pode ser obtido por trigonometria com o ângulo 2 φp em AOC
tan (2 φp) = τxy / (σx − σm) = 1000 / (4000 − 3500) = 2. Resolvendo, φp ≈ 31,7º.
Círculo de Mohr: rotação de eixos |
Topo | Fim |
O círculo de Mohr pode ser usado para determinar o novo estado de tensões resultante de um deslocamento angular de um estado conhecido de tensões.
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| Fig 01 |
Em (b) da mesma figura, o sistema de coordenadas original é girado do ângulo φ, resultando em X'Y'. Deseja-se saber o novo estado de tensão, isto é, σ'x, σ'y e τ'xy.
Com o uso do círculo de Mohr, esses valores podem ser obtidos de forma bastante prática: em primeiro lugar, determinam-se os pontos C e D, correspondentes ao estado conhecido (a).
Com esses pontos, o círculo fica definido e pode ser traçado.
Desde que, conforme já mencionado em páginas anteriores, os deslocamentos angulares do círculo de Mohr são o dobro dos reais, as tensões nas novas coordenadas (σ'x, σ'y e τ'xy) são dadas pela reta C'D', girada de 2 φ em relação a CD.
Notar que há perfeita coerência com os conceitos já informados: se X'Y' são os eixos principais, a reta C'D' coincide com AB e as tensões são as principais.
Observar também que os deslocamentos angulares no círculo são opostos aos reais porque, conforme já visto, é usada a convenção de tensões σ e τ positivas no sentido de (a) da figura.
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