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Tensões planas |
Topo | Fim |
Seja, por exemplo, um corpo em forma de disco conforme Figura 01. A espessura (dimensão z) é pequena em relação às demais dimensões. Nessa condição, pode-se considerar que tensões normais e transversais atuantes em quaisquer partes elementares do corpo ocorrem somente no plano xy conforme A da figura. Essa situação é dita tensões planas ou estado duplo de tensões.
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| Fig 01 |
A espessura é supostamente Δz, que é a espessura (pequena) do corpo. Portanto, as áreas dos lados dos eixos x e y são respectivamente Δx Δz e Δy Δz.
Na situação de equilíbrio estático, a soma dos momentos em relação a um ponto qualquer é nula. Seja o centro O o ponto considerado. Assim, os momentos das forças das tensões normais são nulos pois as linhas passam pelo ponto. Sobram os momentos das forças das tensões transversais. Desde que as forças correspondentes são as tensões multiplicadas pelas respectivas áreas de atuação, tem-se
τxy Δy Δz Δx / 2 + τ' xyΔy Δz Δx / 2 − τyx Δx Δz Δy / 2 − τ'yx Δx Δz Δy / 2 = 0. A igualdade pode ser dividida pelo fator comum Δx Δy Δz / 2, resultando em τxy + τ'xy − τyx − τ'yx = 0.
Sejam τ'xy = τxy + Δτxy e τ'yx = τyx + Δτyx. Assim, τxy + τxy + Δτxy − τyx − τyx − Δτyx = 0. Ou τxy − τyx = (Δτyx − Δτxy) / 2. Numa situação limite, o lado direito dessa equação tende para zero e pode-se escrever
τxy = τyx #A.1#.
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| Fig 02 |
Determinam-se então as tensões no lado BC considerando conhecidas as tensões nos eixos x e y, isto é, σx, σy e τxy (esta última e τyx são iguais conforme resultado anterior).
Chamando de ΔS (= BC Δz) a área do lado BC, a área do lado AC é ΔS sen φ e a do lado AB é ΔS cos φ.
Considera-se agora um sistema de coordenadas x'y' tal que o eixo x' é perpendicular a BC.
∑ Fx' = 0 = σ ΔS − σx ΔS sen φ sen φ − σy ΔS cos φ cos φ − τxy ΔS sen φ cos φ − τxy ΔS cos φ sen φ.
Isolando σ, ocorre σ = σx sen2 φ + σy cos2 φ + τxy sen φ cos φ + τxy 2 sen φ cos φ.
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| Fig 03 |
sen 2φ = 2 sen φ cos φ.
sen2 φ = (1 - cos 2φ) / 2.
cos2 φ = (1 + cos 2φ) / 2.
Então σ = (σy + σx) / 2 + [ (σy − σx) cos 2φ ] / 2 + τxy sen 2φ #A.2#.
∑ Fy' = 0 = τ ΔS + σx ΔS sen φ cos φ − σy ΔS cos φ sen φ − τxy ΔS sen φ sen φ + τxy ΔS cos φ cos φ.
Usando as igualdades trigonométricas anteriores, chega-se a
τ = [ (σy − σx) sen 2φ ] / 2 − τxy cos 2φ #A.3#.
Portanto, as igualdades #A.2# e #A.3# permitem determinar as tensões em uma direção qualquer a partir das tensões conhecidas em um par de eixos ortogonais x e y.
Tensões principais no plano |
Topo | Fim |
As equações #A.2# e #A.3# do tópico anterior permitem, conforme dito, determinar as tensões normal e transversal em qualquer plano, dadas as tensões normais e transversais em dois eixos ortogonais conhecidos x e y. Entretanto, em muitos problemas de Engenharia, o que se deseja saber são as tensões máximas para fins de dimensionamento do elemento.
Para se obter a direção da tensão normal máxima, é preciso derivar #A.2# do tópico anterior em relação a φ e igualar a zero:
dσ / dφ = − [ (σy − σx) 2 sen 2φ ] / 2 + 2 τxy cos 2φ = 0. Resolvendo a equação diferencial,
tan 2φ = 2 τxy / (σy − σx) #A.1#.
Essa igualdade, por sua vez, tem duas soluções, (2φ)1 e (2φ)2, que diferem 180º entre si. Portanto, φ1 e φ2 diferem de 90° e a dualidade de soluções significa que há uma tensão máxima σ1 e uma tensão mínima σ2.
As tensões, σ1 e σ2, são denominadas tensões principais e os eixos ou planos correspondentes (ângulos φ1 e φ2) são denominados planos principais, que, conforme visto, são ortogonais entre si.
Na Figura 01 estão representados os ângulos (2φ)1 e (2φ)2. A equação #A.1# pode ser reescrita para
tan 2φ = τxy / [ (σy − σx) / 2 ]. Considera-se agora na mesma figura:
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| Fig 01 |
22' = − τxy
O1' = (σy − σx) / 2
O2' = − (σy − σx)/2
Por trigonometria simples, as seguintes relações são deduzidas:
| sen (2φ)1 = τxy / { [(σy − σx)/2]2 + τxy2 }1/2 | cos (2φ)1 = [(σy − σx)/2] / { [(σy − σx)/2]2 + τxy2 }1/2 |
| sen (2φ)2 = − τxy / { [(σy − σx)/2]2 + τxy2 }1/2 | cos (2φ)2 = − [(σy − σx)/2] / { [(σy − σx)/2]2 + τxy2 }1/2 |
Substituindo esses valores em #A.2# do primeiro tópico,
σ1,2 = (1/2) (σy + σx) ± (1/2) [ (σy − σx)2 + 4 τxy2 ]1/2 #A.2#.
Se os valores são substituídos em #A.3# do mesmo tópico, τ1,2 = 0 #A.3#.
O resultado significa que não há tensões transversais (ou de cisalhamento) nos planos principais.
Tensões (max e min) de cisalhamento no plano |
Topo | Fim |
De forma similar à anterior, as tensões transversais máxima e mínima podem ser obtidas pela derivação de #A.3# do primeiro tópico em relação a φ
dτ/dφ = 2 [ (σy − σx) cos 2φ ] / 2 − (−2) τxy sen 2φ 0. Então
tan (2φ)t = − (σy − σx) / (2 τxy) #A.1#.
Obs: a notação (2φ)t serve para não confundir com 2φ da tensão normal do tópico anterior.
Também de forma similar à anterior, há duas soluções (2φ)t1 e (2φ)t2 que diferem 180º entre si. Assim, φt1 e φt1 têm diferença de 90º.
Comparando #A.1# deste tópico com #A.1# do tópico anterior, nota-se que o valor absoluto de um é o inverso do outro. Assim, 2φ e (2φ)t têm diferença de 90° e, portanto, φ e φt são separados de 45°. Ou seja, o par de eixos das tensões máxima e mínima de cisalhamento está na bissetriz do ângulo reto dos planos principais (tensões normais máxima e mínima).
Formulando seno e co-seno para (2φ)t1 e (2φ)t2 de maneira similar à do tópico anterior e substituindo em #A.3# do primeiro tópico, chega-se a
τ1,2 = ± (1/2) [ (σy − σx)2 + 4 τxy2 ]1/2 #A.2#.
O resultado indica que as tensões transversais máxima e mínima têm valores absolutos idênticos, diferindo no sinal.
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