Comentários sobre dimensionamentos

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Conforme visto em página anterior, a tensão máxima τ_max em um eixo submetido a um torque T é dada por

τ_max = T / W_p #A.1#. Onde W_p é o momento de resistência polar, isto é,

W_p = J_p / R #A.2#. Onde J_p é o momento de inércia polar e R é o raio.

E o ângulo de torção de um eixo de comprimento L submetido a um torque T é φ = T L / (J_p G). Dividindo o valor por L, resulta no ângulo de torção por unidade de comprimento:

φ / L = T / (J_p G) #B.1#.

É comum o uso de ambos os critérios, τ_max e φ/L, para dimensionamento de eixos.

Para tensão máxima, τ_max, que é uma tensão de cisalhamento, alguns critérios básicos podem ser vistos nas páginas Resistência dos materiais I-40 e Resistência dos materiais I-60.

Para o ângulo de torção por unidade de comprimento, φ/L, encontram-se exemplos em literatura do valor máximo de

0,25 graus por metro de comprimento, no caso de eixos de aço.

Lembrar que as fórmulas dadas usam ângulos em radianos e, portanto, esse limite corresponde a aproximadamente 0,004363 radianos por metro de comprimento.

Exemplo: barra biengastada

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Na Figura 01, uma barra cilíndrica engastada em ambas as extremidades está sob ação de um torque T no local da variação de diâmetro. Deseja-se saber o ângulo de torção em B e a distribuição de torque ao longo da barra.

Fig 01

Para obedecer à condição de equilíbrio estático, um lado da barra deve estar sob ação de um torque T−T' e o outro lado, de T'. Assim, a soma de ambos se iguala ao torque externo T.

O diagrama de torque da figura não corresponde necessariamente ao real, pois os valores e sinais serão dados pelos cálculos.

O ponto de partida para resolver este problema é considerar a barra secionada em B, ou seja, como se fossem duas barras que, sob ação de T, apresentam o mesmo ângulo de torção. Assim, as duas seções se comportam como se fossem um corpo único.

E, desde que são engastadas, nas extremidades o ângulo é nulo.

Os ângulos de torção são os mesmos φ_AB = φ_BC = φ_B.

φ_AB = (T-T') L_AB / (J_pAB G) = φ_BC = T' L_BC / (J_pBC G) = φ_B #A.1#. Portanto,

T' L_BC / (J_pBC G) + T' L_AB / (J_pAB G) = T L_AB / (J_pAB G).

Dividindo tudo por L_AB / (J_pAB G),

T' L_BC (J_pAB G) / L_AB (J_pBC G) + T' = T.

T' = T / [ 1 + (L_BC J_pAB) / (L_AB J_pBC) ] #B.1#.

Desde que por hipótese são conhecidos T, L_AB, L_BC e os momentos polares J_pAB e J_pBC (funções dos respectivos raios), o valor de T' fica definido e o ângulo de giro φ_B pode ser calculado conforme igualdade anterior #A.1# (se conhecido, é claro, o valor do módulo de elasticidade transversal G, que depende do material da barra).

Esse é um exemplo de carregamento estaticamente indeterminado ou hiperestático de torção. As equações fundamentais da estática, ∑F = 0 e ∑M = 0, não são suficientes para definir todas as variáveis. Além delas, é necessário considerar o deslocamento.