Energia da deformação por torção

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Na Figura 01, uma barra cilíndrica de raio R e comprimento L com a extremidade A fixa está submetida a um torque T na extremidade B, de forma que o ângulo de torção nessa extremidade em situação de equilíbrio estático é φ.

Deseja-se saber a energia gasta para atingir tal situação a partir da condição livre, isto é, girar um ponto na posição 1 até a posição 2 da figura, de forma que ele seja mantido nessa posição com um torque T aplicado.

Fig 01

Em página anterior, foi dada a equação para o ângulo em função do torque aplicado

φ = T L / (J_p G). Portanto,

T = (J_p G / L) φ = k φ, onde k = J_p G / L.

O ângulo φ é, por definição, a razão entre segmento de circunferência a e o raio R

φ = a / R.

O torque T pode ser considerado igual ao momento de uma força tangencial F em relação ao eixo da barra, isto é,

T = F R = k φ conforme igualdade anterior. Ou F = (k/R) φ.

O trabalho (ou energia da deformação) é dado pela integração do produto da força pelos deslocamentos infinitesimais

W = ∫ F da. Substituindo pelos valores de F e φ das igualdades anteriores,

W = ∫ F da = ∫ (k/R) φ da = ∫ (k/R) (a/R) da = ∫ (k/R²) a da = (k/R²) a²/2 = (k/2) (a/R)².

Mas a/R = φ e φ = T/k conforme já visto. Assim,

W = (k/2) φ² = (k/2) (T²/k²) = T² / (2k).

Substituindo o valor de k (= J_p G / L), obtém-se o resultado

W = L T² / (2 G J_p) #A.1#.

Potência transmitida, diagrama de momento e ângulo de torção

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A potência mecânica transmitida por um eixo está relacionada com o torque aplicado e a rotação de acordo com a seguinte fórmula:

Fig 01

P = T ω #A.1#. Onde

P: potência em watts.
T: torque em N m.
ω: rotação em radianos por segundo.


A Figura 01 dá o exemplo de uma barra cilíndrica com aplicação de dois esforços de torção em locais distintos.

É suposto que a barra está engastada na extremidade C.

Na parte inferior da figura são dados diagramas aproximados dos esforços de torção e ângulos de distorção ao longo do comprimento da barra.

Exemplo de questão

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Fonte: prova perito Polícia Federal, ano desconhecido.

A tensão cisalhante máxima τ em uma barra cilíndrica de seção circular com comprimento L e diâmetro D, submetida a um momento torsor T, é dada pela seguinte expressão (G = módulo de elasticidade transversal; J = momento de inércia polar; I = momento de inércia):

(a) τ = TL/GJ

(b) τ = TD/2J

(c) τ = 32T/πD4

(d) τ = TL/GI

Solução: é a fórmula vista da tensão máxima de torção (τ_max = T R / J_p), com a substituição de R por D/2. Portanto, resposta (b). Notar que a tensão máxima não depende do material e, portanto, as alternativas (a) e (d), que incluem o módulo de elasticidade transversal G, podem ser descartadas de imediato. A alternativa (c) sugere a substituição, na fórmula anterior, do valor de J_p (= π D⁴ / 32), mas está incorreta.