Torção de peças circulares

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Seja, conforme Figura 01, uma barra cilíndrica fixa em uma extremidade e submetida a um esforço de torção por um conjugado de torque T na outra extremidade.

Essa solicitação é uma torção uniforme, uma vez que o material da barra é considerado homogêneo. Assim, todos os pontos de cada circunferência de qualquer seção transversal têm o mesmo deslocamento.

Fig 01

Um plano que passa pelo eixo do cilindro sofre uma deformação tal que o ângulo φ sobre uma circunferência é função da distância x entre o círculo dessa circunferência e a extremidade engastada.

A simples dedução ou observação prática revelam que o ângulo φ aumenta com o aumento de x. Para determinar a relação entre ambos, importante em muitos casos práticos, é necessário em primeiro lugar um estudo das tensões em cada plano de seção transversal.

Na Figura 02 é considerada uma porção elementar da barra, de comprimento dx. O processo de torção pode ser entendido como o cisalhamento de dois planos próximos, neste caso as extremidades dessa seção elementar.

A observação prática demonstra que o ângulo de distorção γ de uma superfície elementar varia linearmente com o raio, atingindo o valor máximo γ_max na borda. Assim,

γ = (r/R) γ_max.

Se os ângulos são proporcionais aos raios, as tensões de cisalhamento τ também são, pois é suposto que as deformações ocorrem dentro da região elástica do material. Assim,

τ = (r/R) τ_max #A.1#.

Fig 02

O torque T pode ser dado pela integração do produto das forças elementares dF devido ao cisalhamento pela distância até o centro O, isto é, pelo raio:

T = ∫ r dF. Mas dF = τ dA, onde dA são as áreas elementares. Assim,

T = ∫ r τ dA.

Substituindo τ conforme igualdade #A.1#,

T = ∫ r (r/R) τ_max dA = ( τ_max / R) ∫ r² dA.

Mas ∫ r² dA é o momento polar de inércia (J_p) da superfície (círculo neste caso) em relação ao eixo de rotação O. E fica definida a relação entre torque e tensão máxima:

Fig 03

T = τ_max J_p / R #B.1# para o torque.

τ_max = T R / J_p #B.2# para a tensão máxima.

Voltando à proporcionalidade entre raio e tensão de cisalhamento (igualdade #A.1#), pode-se concluir que, em qualquer direção radial, a tensão varia de zero até τ_max conforme (a) da Figura 03.

Para o caso de eixo vazado (ou tubo) conforme Figura 03 (b), pode-se facilmente verificar que a tensão varia radialmente de um valor mínimo até τ_max.

Fig 04

Outro aspecto que vale mencionar é o fato de as tensões de cisalhamento ocorrerem sempre em pares perpendiculares.

Assim, em um corte hipotético de um eixo cilíndrico conforme Figura 04, há tensões ao longo do eixo, de mesmos valores das tensões na seção transversal.

Volta-se agora à Figura 01 e à questão inicial deste tópico, isto é, o ângulo de torção da extremidade de um eixo cilíndrico na qual é aplicado um torque T, supondo a outra extremidade fixa e comprimento L.

Na Figura 02, pode-se observar que, para uma pequena porção,

dφ = γ_max / R.

Em página anterior, foi visto que a relação entre ângulo de cisalhamento e a respectiva tensão é τ = G γ. Assim,

dφ = τ_max / (G R). Substituindo τ_max pelo valor dado em #B.2#,

dφ = T / (J_p G). Portanto, o ângulo φ é dado pela integração φ = ∫_0,L [T / (J_p G)] dx.

φ = T L / ( J_p G ) #C.1#.

É evidente que essa fórmula vale apenas para eixos de seção constante e submetido à torção na extremidade. Para outros casos, ela pode ser generalizada com torque e momento polar de inércia em função de x

φ = ∫_0,L [ T(x) / ( J_p(x ) G) ] dx #C.2#.