Dilatação linear com dois materiais

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Problema de dilatação já foi visto em página anterior desta série. Neste caso, há duas barras de materiais diferentes, que sofrem a mesma variação de temperatura Δt e são impedidas de dilatar conforme (a) da Figura 01. As seções transversais, consideradas circulares, também são diferentes.

Fig 01

Além das dimensões geométricas (L e D) indicadas na figura, supõe-se que são conhecidos os módulos de elasticidade (E₁ e E₂) e os coeficientes de dilatação linear (α₁ e α₂) de cada material.

A condição de equilíbrio estático permite concluir que as reações dos apoios são idênticas:

R_A = R_B = R. Portanto, ambas as partes estão sob o mesmo esforço de compressão R.

Considera-se agora a situação (b) da figura, isto é, o aquecimento livre.

Nessa condição e segundo fórmula já vista ( ΔL = L α Δt ), os comprimentos das partes seriam:

L_1' = L₁ + L₁ α₁ Δt #A.1#.

L_2' = L₂ + L₂ α₂ Δt #A.2#.

E as variações:

ΔL_1dilat = L₁ α₁ Δt #B.1#.

ΔL_2dilat = L₂ α₂ Δt #B.2#.

Com a aplicação das reações dos apoios R_A e R_B, as barras sofrem uma deformação por compressão elástica, de forma que a soma dos comprimentos finais L_1F + L_2F é igual à soma dos comprimentos iniciais L₁ + L₂.

Notar que os comprimentos finais L_1F e L_2F não são necessariamente iguais aos seus comprimentos iniciais L₁ e L₂, como pode sugerir a figura. A igualdade está na soma de ambos.

As áreas das seções transversais de cada parte são:

S₁ = π D₁²/ 4 #C.1#.

S₂ = π D₂²/ 4 #C.2#.

E as tensões em cada parte são:

σ₁ = R/S₁ = 4 R / (π D₁²) #D.1#.

σ₂ = R/S₂ = 4 R / (π D₂²) #D.2#.

Conforme lei de Hooke, σ = E ε = E ΔL / L ou ΔL = σ L / E. Assim,

ΔL_1compr = σ₁ L₁ / E₁ #E.1#.

ΔL_2compr = σ₂ L₂ / E₂ #E.2#.

Para impedir a dilatação livre, a soma das reduções de comprimento devido à compressão deve ser igual à soma dos aumentos devido à dilatação:

ΔL_1compr + ΔL_2compr = ΔL_1dilat + ΔL_2dilat. 

σ₁ L₁ / E₁ + σ₂ L₂ / E₂  = ΔL_1dilat + ΔL_2dilat.

R L₁ / S₁ E₁ + R L₂ / S₂ E₂  = L₁ α₁ Δt + L₂ α₂ Δt.

R = [ L₁ α₁ Δt + L₂ α₂ Δt ] / [ L₁ / S₁ E₁ + L₂ / S₂ E₂].

R = [ ΔL_1dilat + ΔL_2dilat ] / [ 4 L₁ / (π D₁² E₁) + 4 L₂ / (π D₂² E₂) ] #F.1#.

Com essa igualdade a reação R fica determinada em função de parâmetros supostamente conhecidos e outros dados podem ser calculados em função da mesma. Considera-se agora o exemplo numérico para Δt = 80ºC.

Seja alumínio o material da parte 1 e bronze o da parte 2. E os valores:

L₁ = 0,45 m | D₁ = 0,05 m | E₁ = 69 GPa | α₁ = 2,3 10^-5 /ºC.

L₂ = 0,50 m | D₂ = 0,045 m | E₂ = 98 GPa | α₂ = 1,9 10^-5 /ºC.

Conforme #B.1# e #B.2#,

ΔL_1dilat = 0,45 m 2,3 10^-5 /ºC 80 ºC =  0,828 mm ou 0,828 10^-3 m.

ΔL_2dilat = 0,50 m 1,9 10^-5 /ºC 80 ºC =  0,760 mm ou 0,760 10^-3 m.

Conforme #F.1#,

r = [8,28 10^-4 m + 7,6 10^-4 m] / [ 4 0,45 m / (π 0,05² m² 69 10⁹ N/m² + 4 0,50 m / (π 0,045² m² 98 10⁹ N/m² ].

r ≈ 15,88 10^-4 m / [ 3,32 10^-9 (m/N) + 3,21 10^-9 (m/N) ] ≈ 243,206 kN.

Calculam-se agora as tensões de compressão conforme #D.1# e #D.2#:

σ₁ = 4 243,206 10³ / (π 0,05² m²) ≈ 123,864 MPa.

α₂ = 4 243,206 10³ / (π 0,045² m²) ≈ 152,918 MPa.

E as variações devido à compressão conforme #E.1# e #E.2#:

ΔL_1compr = 123,864  MPa 0,45 m / 69 GPa ≈ 0,808 10^-3 m ou 0,808 mm.

ΔL_2compr = 152,918 MPa 0,50 m / 98 GPa ≈ 0,780 10^-3 m ou 0,780 mm.

Desde que a dilatação aumenta o comprimento e a compressão diminui, a variação líquida é igual à diferença das duas. Assim,

ΔL₁ = ΔL_1dilat − ΔL_1compr = 0,828 − 0,808 = 0,02 mm.

ΔL₂ = ΔL_2dilat − ΔL_2compr = 0,760 − 0,780 = −0,02 mm.

Os resultados positivo e negativo indicam que o alumínio é expandido e o bronze, comprimido. À primeira vista, isso pode parecer estranho. É mais visível supor ambas as partes comprimidas. Mas os diâmetros e comprimentos são diferentes, os materiais têm módulos de elasticidade e coeficientes de dilatação distintos. A combinação desses valores pode fazer resultados desse tipo.