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Deformação plástica residual |
Topo | Fim |
No esquema da Figura 01, a barra é considerada de seção transversal S constante. São conhecidos também os valores de:
L: comprimento inicial.
E: módulo de elasticidade do material.
σE: tensão de escoamento do material.
ΔLmax: aumento do comprimento devido à aplicação do esforço de tração.
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| Fig 01 |
Supõe-se que o material se comporta conforme o gráfico na parte direita da referida figura.
Do início da deformação (0) até o escoamento (1), há uma relação linear entre tensão σ e deformação ε. Iniciado o escoamento, a tensão permanece constante até a deformação máxima em (2).
Na remoção do esforço (2) a (3), a relação tensão e deformação volta a ser linear e, desde que o módulo de elasticidade não varia, o retorno se dá em uma reta paralela a 01, deslocada devido à deformação residual da região plástica 12. É uma aproximação dos ensaios reais de tração.
A deformação máxima (em 2) é dada por ε2 = ΔLmax/L.
A deformação máxima na região elástica (em 1) é dada por: ε1 = σE / E (lei de Hooke).
A geometria do gráfico permite concluir que a deformação em (3) é igual à diferença entre as deformações em (2) e em (1). Assim,
ε3 = ε2 − ε1 = ΔLmax/L − σE / E.
Mas ε3 = ΔLperm/L ou ΔLperm = ε3 L.
Portanto, ΔLperm = ( ΔLmax/L − σE / E ) L #A.1#.
Ação da força centrífuga em barra girante |
Topo | Fim |
Conforme Figura 01 deste tópico, uma barra horizontal de seção transversal constante gira, em torno de um eixo vertical que passa por uma extremidade, com velocidade angular constante. Deseja-se saber a atuação da força centrífuga ao longo do comprimento da barra bem como sua deformação. São conhecidos:
L: comprimento da barra.
S: área da seção transversal.
ω: velocidade angular.
μ: massa específica do material da barra.
E: módulo de elasticidade do material da barra.
Das relações da Dinâmica, pode ser visto que, para uma massa puntiforme m que gira com velocidade angular ω e raio r, a força centrífuga é dada por
F = m ω2 R #A.1#.
Essa igualdade vale para uma massa concentrada em um ponto. No caso da barra em questão, ela é distribuída. Mas pode ser tratada como uma massa puntiforme localizada no ponto de simetria (ponto médio) da parte considerada.
Seja um ponto P genérico situado a um raio r do centro. A força centrífuga atuante nesse ponto é equivalente à da massa do trecho PA concentrada no seu ponto médio, ou seja, distante r + PA/2 do centro O.
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| Fig 01 |
A massa dessa parte é μ PA S = μ (L − r) S.
Substituindo para a força centrífuga (#A.1#),
F = μ (L − r) S ω2 (L + r) / 2.
Simplificando, F(r) = μ S ω2 (L2 − r2) / 2 #A.2#.
Observar a notação F(r), que indica a dependência com o raio r. Na extremidade A (r = L) a força é nula, atingindo o valor máximo em O (r = 0). Portanto a tensão máxima é dada por
σmax = F(0)/S = μ ω2 L2 / 2 #A.3#.
A determinação da deformação não se faz pela simples divisão da tensão pelo módulo de elasticidade. Desde que a força varia ao longo do comprimento (#A.2#), a tensão também varia, o que torna inválida a divisão mencionada.
Considera-se um comprimento infinitesimal dr distante r do centro O (isto é, dL está em P da figura). Dividindo a igualdade #A.2# pela área S, obtém-se a tensão atuante nesse ponto
σ(r) = μ ω2 (L2 − r2) / 2. Considerando dℓ a variação do comprimento dr provocada pela tensão σ, tem-se conforme a lei de Hooke
dℓ / dr = σ / E = μ ω2 (L2 − r2) / (2 E). Ou dℓ = [ μ ω2 / (2E) ] (L2 − r2) dr.
A variação total do comprimento é dada pela integração
ℓ = ∫0,L dℓ = ∫0,L [ μ ω2 / (2E) ] (L2 − r2) dr = [ μ ω2 / (2E) ] |0,L (L2 r − r3/3).
ℓ = [ μ ω2 / (2E) ] (L3 − L3/3) = [ μ ω2 / (2E) ] (2 L3 / 3) = [ μ ω2 L2 / 2 ] [2 L / (3E) ].
O primeiro termo entre colchetes é a tensão máxima dada por #A.3#. Assim,
ℓ = 2 σmax L / (3 E). Isso é a variação total de comprimento. Portanto, a divisão por L dá a deformação total da barra
ε = ℓ / L = 2 σmax / (3 E) #A.4#.
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