Energia da deformação elástica

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Com a suposição de deformação elástica de acordo com a lei de Hooke, deseja-se saber a energia gasta para deformar a barra da condição de repouso A (sem força aplicada) até B, onde uma força F mantém a barra no comprimento L + ΔL (Figura 01 deste tópico).

Deve ser notado que essa energia não é o simples produto F ΔL, uma vez que a força varia com o valor da deformação.

Fig 01

Seja x uma deformação genérica entre A e B, isto é,

0 ≤ x ≤ ΔL.

De acordo com a lei de Hooke,

σ = F(x) / S = E ε = E x / L #A.1#.

Onde F(x) é a força que produz uma deformação absoluta x. Portanto,

• se x = 0, F(x) = 0 #A.2#.
• se x = ΔL, F(x) = F #A.3#.

De acordo com o conceito de trabalho, dW = F(x) dx. Conforme relação #A.1#, F(x) = (E S/L) x. Substituindo e realizando a integração,

W = ∫_{0, ΔL} F(x) dx = (E S/L) ΔL² / 2.

Considerando #A.3# e #A.1#, ΔL = F L / (S E). Substituindo e simplificando, chega-se ao resultado final

W = L F² / (2 E S) #B.1#.

Tensão devido à dilatação linear

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Se, conforme Figura 01 (a), uma barra de comprimento L a uma determinada temperatura t for submetida a uma variação (positiva neste caso) de temperatura Δt, a variação do seu comprimento é dada por

ΔL = L α Δt #A.1#.

Onde α é o coeficiente de dilatação linear do material da barra.

Uma simples análise dimensional da fórmula acima permite concluir que a unidade de α no Sistema Internacional é 1/K ou 1/°C, uma vez que variações unitárias de graus Kelvin e Celsius são idênticas.

Fig 01

Se a barra for impedida de dilatar, conforme Figura 01 (b), ela será submetida a uma força e, por conseqüência, tensão de compressão.

Considerando o trabalho na região elástica conforme lei de Hooke, pode-se usar a sua formulação para determinar a tensão (neste caso, é claro, o esforço é de compressão e não de tração).

σ = E ε = E ΔL / L. Substituindo ΔL pelo valor de #A.1#, o resultado é

σ = E α Δt #B.1#.

A tabela abaixo dá valores aproximados do coeficiente de dilatação linear para alguns metais ou ligas comuns.

-	Aços	Alumínio	Bronze	Cobre	Ferro fundido	Latão
α 10-5 1/°C	1,2	2,3	1,9	1,7	1,2	1.9

Exemplo de questão

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Fonte: prova perito Polícia Federal, ano desconhecido.

Uma haste tem eixo reto e seção transversal constante, circular, com diâmetro d = 5,0 mm. O material da haste tem módulo de elasticidade E = 2100,00 tf/cm² e segue a lei de Hooke. Se a deformação axial do material for ε = 0,001 qual a força normal atuante na haste ?

(a) 0,412 tf

(b) 0,041 tf

(c) 4,123 tf

(d) 41,230 tf

Solução: aplicando a fórmula σ = E ε, tem-se σ = 2100 0,001 = 2,1 tf/cm². Para diâmetro D = 5,0 mm = 0,5 cm, a área é S = π 0,5² / 4 ≈ 0,196. Portanto, F = σ S = 2,1 0,196 ≈ 0,412 tf. Resposta (a).