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Relações básicas |
Topo | Fim |
As fórmulas simples para cálculo de reservatórios cilíndricos de parede fina supõem tensões internas constantes, aproximação perfeitamente aceitável para o caso.
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| Fig 01 |
Consideramos um cilindro espesso conforme (a) da Figura 01, que, segundo o corte transversal em (b) da mesma figura, é submetido a uma pressão interna pi ou a uma pressão externa pe. Os raios interno e externo são ri e re respectivamente.
Supondo uma fatia de comprimento longitudinal unitário, a Figura 02 (a) representa uma porção elementar dessa fatia, limitada pelo ângulo dθ e pelos raios r e r + dr.
A simetria da questão permite concluir que as tensões transversais no elemento são nulas e que as tensões normais σr e σθ dependem apenas de r e não de θ.
Para equilíbrio das forças na direção radial, temos
σr r dθ + 2 σθ (dθ/2) dr = (σr + dσr) (r + dr) dθ.
σr r dθ + σθ dθ dr = σr r dθ + σr dr dθ + dσr r dθ + dσr dr dθ. Desprezando a parcela com três diferenciais e simplificando, chegamos a
(dσr / dr) + (σr − σθ) / r = 0 #A.1#.
A parte (b) da Figura 02 trata das deformações da porção elementar do cilindro. Lembrando novamente a simetria, concluímos que não há deslocamento angular, restando apenas o deslocamento radial u dado por aa' ou dd'.
O comprimento original no sentido radial é dado por ab ou dc, que equivale a dr. No deslocamento para a'b'c'd', esse comprimento aumenta de u + du − u. Portanto, a deformação radial do elemento é dada por
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| Fig 02 |
O arco ad (r dθ) varia para a'd' ou (r + u) dθ. Temos então a deformação tangencial
εθ = [ (r + u) dθ − r dθ ] / (r dθ) = u / r #B.2#
Aplicamos agora a lei de Hooke para tensões no plano porque supomos, por enquanto, as extremidades do cilindro abertas, isto é, sem tensões ao longo do eixo z (ν = coeficiente de Poisson)
εr = (1 / E) (σr − ν σθ) = du / dr #B.3#.
εθ = (1 / E) (σθ − ν σr) = u / r #B.4#.
Resolvendo o sistema de equações anterior para as tensões, temos os resultados
σr = [ E / (1 − ν2) ] (du / dr + ν u / r) #B.5#.
σθ = [ E / (1 − ν2) ] (u / r + ν du / dr) #B.6#.
Temos σr − σθ = [ E / (1 − ν2) ] [ du / dr − ν du / dr + ν u / r − u / r ].
Também dσr / dr = [ E / (1 − ν2) ] [ d2u / dr2 + (ν / r) du / dr − ν u / r2 ]. Substituindo em #A.1# e simplificando, temos
d2u / dr2 + (1 / r) du / dr − u / r2 = 0 #C.1#. A solução da equação diferencial é u = K1 r + K2 / r #C.2#.
Substituindo e resolvendo em #B.5# e #B.6#,
σr = [ E / (1 − ν2) ] [ K1 (1 + ν) − K2 (1 − ν) / r2 ] #D.1#.
σθ = [ E / (1 − ν2) ] [ K1 (1 + ν) + K2 (1 − ν) / r2 ] #D.2#.
As constantes de integração K1 e K2 são determinadas pelas condições de contorno: para r = ri, σr = − pi e, para r = re, σr = − pe. Substituindo em #D.1# e resolvendo,
K1 = [ (1 − ν) / E ] [ (ri2 pi − re2 pe) / (re2 − ri2) ] #D.3#.
K2 = [ (1 − ν) / E ] [ ri2 re2 (pi − pe) / (re2 − ri2) ] #D.4#.
Substituindo esses valores em #D.1# e #D.2# e simplificando, temos as relações básicas para o cilindro aberto
σr = [ (ri2 pi − re2 pe) / (re2 − ri2) ] − [ ri2 re2 (pi − pe) / (re2 − ri2) r2 ] #E.1#.
σθ = [ (ri2 pi − re2 pe) / (re2 − ri2) ] + [ ri2 re2 (pi − pe) / (re2 − ri2) r2 ] #E.2#. Onde
σr: tensão radial em um ponto de raio r.
σθ: tensão tangencial em um ponto de raio r.
ri: raio interno do cilindro.
re: raio externo do cilindro.
pi: pressão interna atuante.
pe: pressão externa atuante.
r: raio correspondente às tensões anteriores.
Casos específicos |
Topo | Fim |
A fórmula deduzida no tópico anterior vale para cilindro de extremidades abertas e livres, isto é, sem tensões no eixo z ou σz = 0. Aplicações típicas são montagens mecânicas com interferência. Para reservatórios, as extremidades são obviamente fechadas e devemos considerar tensões ao longo do eixo z.
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| Fig 01 |
Portanto, a tensão ao longo do eixo z para o caso de extremidades fechadas é calculada por
σz = (ri2 pi − re2 pe) / (re2 − ri2) #A.1#.
Generalizando, podemos dizer que em um ponto de raio r, temos as tensões principais
| σ1 = σθ | σ2 = σr | σ3 = σz | #A.2# |
Reservatório com apenas pressão interna:
Temos as fórmulas segundo #E.1# e #E.2# do tópico anterior e #A.1# deste tópico com pe = 0.
σr = (1 − re2 / r2) [ ri2 pi / (re2 − ri2) ] #B.1#.
σθ = (1 + re2 / r2) [ ri2 pi / (re2 − ri2) ] #B.2#.
σz = ri2 pi / (re2 − ri2) #B.3#.
A Figura 01 acima mostra curvas aproximadas da variação das tensões radial e tangencial com o raio para este caso.
Reservatório com apenas pressão externa:
Temos as fórmulas segundo #E.1# e #E.2# do tópico anterior e #A.1# deste tópico com pi = 0.
σr = (1 − ri2 / r2) [ − re2 pe / (re2 − ri2) ] #C.1#.
σθ = (1 + ri2 / r2) [ − re2 pe / (re2 − ri2) ] #C.2#.
σz = − re2 pe / (re2 − ri2) #C.3#.
Montagem mecânica com interferência
Sejam dois cilindros de mesmo comprimento tais que o raio externo de um é ligeiramente maior que o raio interno do outro. Se fazemos uma montagem mecânica forçada dos mesmos, haverá uma pressão p, interna para o cilindro maior e externa para o menor, que poderá ser usada para calcular as tensões nos cilindros de acordo com as fórmulas já vistas. A fórmula aproximada para essa pressão é
δr b (c2 + b2) b (b2 + a2)
-- = --- [ --------- + νc ] + --- [ --------- − νa ] #D.1#
p Ec (c2 − b2) Ea (b2 − a2)
δr: interferência radial (deve ser pequena em relação a b).p: pressão de interferência ou de contato.
a: raio interno do cilindro menor.
b: raio comum (externo do menor e interno do maior).
c: raio externo do cilindro maior.
Ea: módulo de elasticidade do material do cilindro menor.
Ec: módulo de elasticidade do material do cilindro maior.
νa: coeficiente de Poisson do material do cilindro menor.
νc: coeficiente de Poisson do material do cilindro maior.
Dispondo do comprimento L e do coeficiente de atrito μ (valores típicos de 0,12 a 0,20 para aços), o torque máximo que pode ser transmitido é
T = 2 π b2 L μ p #D.2#.
Alguns exemplos |
Topo | Fim |
Exemplo 01: uma prensa hidráulica deve produzir uma força de 2000 kN com um êmbolo de Φ = 300 mm. Determinar a espessura da parede do cilindro para a tensão tangencial máxima igual a 80 MPa.
Temos ri = 0,15 m e área do êmbolo π 0,152 ≈ 0,07 m2. Portanto, pi = 2000 / 0,07 ≈ 29 MPa.
Segundo a fórmula já vista para a tensão tangencial de reservatório com pressão interna,
σθ = (1 + re2 / r2) [ ri2 pi / (re2 − ri2) ], ela deve ser máxima para r = ri. Fazemos então
80 = (1 + re2 / 0,152) [ 0,152 29 / (re2 − 0,152) ]. Resolvendo, re ≈ 219 mm e espessura ≈ 219 − 150 = 69 mm.
Notar que esse cálculo não é dimensionamento do cilindro!
Exemplo 02: um cilindro fechado de diâmetro interno 160 mm e diâmetro externo 320 mm suporta uma pressão interna de 150 MPa. Determinar as mínimas e máximas tensões radiais e tangenciais bem como a tensão longitudinal.
Temos os dados: ri = 0,16/2 = 0,08 m | re = 0,32/2 = 0,16 m | pi = 150 106 Pa. E as fórmulas já vistas:
| σr = (1 − re2 / r2) [ ri2 pi / (re2 − ri2) ] | σθ = (1 + re2 / r2) [ ri2 pi / (re2 − ri2) ] | σz = ri2 pi / (re2 − ri2) |
Calculamos o termo comum (re2 − ri2) = (0,162 − 0,082) = 0,0192.
Para r = ri podemos deduzir que σr = − pi = − 150 MPa. Para r = re temos σr = = 0.
Para r = ri temos σθ = (1 + 0,162 / 0,082) [ 0,082 150 / 0,0192 ] = 250 MPa. Para r = re temos a tensão σθ = (1 + 0,162 / 0,162) [ 0,162 150 / 0,0192 ] = 100 MPa.
Tensão longitudinal σz = 0,082 150 / 0,0192 = 50 MPa
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