MSPC    Informações técnicas | Mapa | Fim pág |

 

Vetores I-60 Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Integral de linha | Operadores vetoriais | Vetor-superfície |

Índices Ciência dos materiais Eletricidade e eletromagnetismo Eletrônica digital Eletrônica em geral Fluidos, calor, frio, etc Informática Matemática Mecânica teórica Resistência dos materiais Temas técnicos diversos Temas diversos Termodinâmica / transmissão de calor

---

Integral de linha

  | Topo pág | Fim pág |

As linhas na Figura 01 representam um campo genérico C(x, y). Considera-se uma trajetória genérica 12 nesse campo.

Figura 01

A integral de linha do campo no caminho 12 é a integral do produto escalar do vetor do campo (C) pelo vetor deslocamento infinitesimal (dℓ)

∫1...2 C · dℓ #A.1#.

Integrais de linha têm aplicações importantes no estudo de campos vetoriais. Exemplos:

• Num campo de força, representa o trabalho executado pela força ao longo da curva.

• Num campo elétrico, equivale à diferença de potencial elétrico entre as extremidades da curva. E conceitos similares em campos eletromagnéticos e outros.

Em casos simples, o cálculo da integral de linha é rápido. Exemplo: se 12 é uma circunferência de raio R e C é um vetor de intensidade constante, ∫1...2 C · dℓ = C 2 π R.

Operadores vetoriais

  | Topo pág | Fim pág |

Operador nabla: também denominado del, tem o símbolo e é definido por:

=	∂	i +	∂	j +	∂	k	#A.1#
	∂x		∂y		∂z

Notar que não tem significado físico ou geométrico. É apenas um operador e precisa de algum complemento para ter sentido.


Gradiente: seja uma função escalar f = f(x, y, z). O gradiente dessa função é um vetor definido por:

grad (f) = f =	∂f	i +	∂f	j +	∂f	k	#B.1#
	∂x		∂y		∂z

A Figura 01 procura dar uma noção gráfica do gradiente. As duas superfícies representam lugares geométricos da função f constante, ou seja,

Figura 01

f(x, y, z) = C1
f(x, y, z) = C2

Se as diferenças são pequenas,

C2 − C1 = df.

A distância entre as duas superfícies em determinado ponto é dn, tomada ao longo da reta normal comum às duas superfícies. O vetor unitário u_N nesse ponto é normal às superfícies.

Então o gradiente de f pode ser dado também por grad(f) = uN df / dn #B.2#. O vetor gradiente indica a máxima variação da função e o sentido que essa variação tem.


Divergência: seja uma função vetorial F(x, y, z) = Fx(x, y, z) i + Fy(x, y, z) j + Fz(x, y, z) k.

A divergência é o produto escalar do operador nabla pela função:

div F = · F =	∂Fx	+	∂Fy	+	∂Fz		#C.1#
	∂x		∂y		∂z

A divergência de um campo vetorial corresponde ao fluxo líquido por unidade de volume.


Rotacional: seja a mesma função vetorial anterior. O rotacional (curl, em inglês) dessa função equivale ao produto vetorial do operador nabla pela função. É, portanto, um vetor.

rot F = × F = (

∂Fz

−

∂Fy

)i +  (

∂Fx

−

∂Fz

)j +  (

∂Fy

−

∂Fx

)k

#D.1#

∂y

∂z

∂z

∂x

∂x

∂y

O significado físico é uma rotação ou momento angular em uma determinada região do espaço.

Vetor-superfície

  | Topo pág | Fim pág |

Seja, conforme Figura 01 (a), uma superfície plana de área S. O vetor-superfície S correspondente é um vetor normal, de módulo igual à sua área, isto é, |S| = S.

Figura 01

Supõe-se agora o caso particular de duas superfícies planas unidas por uma reta comum. O vetor-superfície para o conjunto é a soma vetorial dos vetores-superfície de cada. Se generalizado para um número qualquer de superfícies planas, o resultado é a soma:

S = ∑ Si #A.1#.

Uma superfície curva genérica, como em (b) da mesma figura, pode ser aproximada por um conjunto de faces planas de áreas individuais ΔS_i. Então, o vetor-superfície no caso genérico é:

S = ∑ ΔSi #B.1#. Na situação limite, S = ∫ dSi #B.2#.

Pode ser demonstrado que o contorno de uma superfície define o seu vetor-superfície. Isso significa que superfícies de mesmo contorno e de formas geométricas diferentes têm o mesmo vetor-superfície. Como conseqüência dessa afirmação, para uma superfície fechada qualquer (contorno nulo), S = 0.


Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Mar/2008

Melhor visto com 1024x768 px Termos de uso

Referências: APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.

Planetmath. http://planetmath.org/. VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.