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Campos vetoriais - Exemplos e conceitos

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No exemplo da Figura 01, um disco gira com velocidade angular ω constante. Deseja-se saber a função de campo para a velocidade em um ponto genérico (x, y).

Figura 01

De acordo com os conceitos da mecânica clássica, a velocidade no ponto (x, y) é dada pelo produto vetorial da velocidade angular ω e do vetor R:

v = ω × R = ω × (Rx + Ry) = ω × Rx + ω × Ry #1.1#.

Os vetores ω e os componentes de R são ortogonais e, portanto, os módulos de seus produtos vetoriais são iguais aos produtos dos seus módulos e as direções são dadas de acordo com a regra da mão direita conforme visto em página anterior.

v = |ω| |Rx| j − |ω| |Ry| i #1.2#.

Usando símbolos sem negrito para indicar módulos e lembrando que |Rx| = x e |Ry| = y, obtém-se a função do campo:

v = - ω y i + ω x j #A.1#.

Figura 02

Uma forma de representação gráfica deste campo poderia ser conforme Figura 02. Mas ela é pouco prática.

Em geral, os campos são representados por linhas de campo (muitas vezes denominadas linhas de força, para campos diretamente relacionados com essa grandeza como campos gravitacionais e elétricos ou, ainda mais especificamente, linhas de indução, para campos magnéticos).

Conforme Figura 03, uma linha de campo L é uma curva tal que a tangente em qualquer ponto é a direção do vetor de campo C nesse ponto.

Figura 03

Considerando as relações trigonométricas, fica claro que para qualquer (x, y) em L vale

dy/dx = Cy / Cx #B.1#.

Para o campo de velocidade anterior, as linhas de campo são dadas por

dy/dx = (ωx) / (−ωy) = − x / y.


Essa igualdade pode ser escrita como x dx + y dy = 0. Fazendo a integração, ∫ x dx + ∫ y dy = 0.

Figura 04

A solução é:

x2/2 + y2/2 = constante.

Reagrupando,

x2 + y2 = c #C.1#.

A equação acima indica uma circunferência de raio c. Portanto, as linhas de campo são circulares e concêntricas, conforme seria esperado.

Notar que o número de linhas de campo é infinito, pois a constante de integração c pode ser qualquer. Graficamente são representadas de forma similar à Figura 04: com setas para indicação do sentido e mais concentradas à medida que a magnitude do campo aumenta (se este último fosse uniforme, seriam retas paralelas e igualmente espaçadas).

Figura 05

A representação gráfica por linhas é mais simples e clara do que o conjunto de vetores da Figura 02. Uma tangente à linha indica a direção do vetor de campo naquele ponto (como em A da Figura 04), e a linha dá uma idéia física da trajetória de um ponto material (ou algo similar) sujeito à ação do campo.

As linhas da Figura 05 ao lado correspondem ao campo dado por:

C = y i + x j #D.1#.

Ou seja, é uma equação similar à do campo anterior, mas com sinal positivo em ambos os componentes.


E o resultado é completamente diferente. Usando o mesmo procedimento anterior para resolver a equação diferencial, o resultado é

x2 − y2 = constante #D.2#. São hipérboles eqüiláteras.


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Referências: APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.

Planetmath. http://planetmath.org/. VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.