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Produto vetorial
| Topo pág | Fim pág |Sejam, conforme Figura 01, a e b dois vetores no mesmo plano. O produto vetorial deles, simbolizado por a × b, é um vetor tal que:
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| Figura 01 |
|a × b| = |a| |b| sen α #A.1#.2) É perpendicular ao plano dos vetores a e b.
3) A direção é dada pela regra da mão direita, considerando que a é o multiplicando e b, o multiplicador.
A expressão produto vetorial indica que é realmente um vetor, ao contrário do produto escalar.
Desde que a direção é determinada pela regra anterior, fica evidente que a ordem dos fatores não é indiferente. Assim,
b × a = − (a × b) #B.1#. Isso significa que não há propriedade comutativa.Algumas propriedades do produto vetorial:
a × a = 0 #C.1# (a + b) × c = a × c + b × c #C.2# (ma) × b = m(a × b) #C.3# (ma) × (nb) = mn (a × b) #C.4#
Produto vetorial em função de coordenadas
Sejam os vetores:
a { Xa, Ya, Za }
b { Xb, Yb, Zb }
Conforme visto em página anterior, eles podem ser representados em forma de matriz:
O produto vetorial pode ser calculado pelo determinante da matriz abaixo, onde
i, j, k são os vetores unitários do sistema de coordenadas.
O resultado desse determinante será uma soma de
i, j, k multiplicados por números que indicam as coordenadas do produto vetorial.O produto vetorial pode ser também calculado com o uso do seguinte produto de matrizes.
Notar que é o produto de um matriz 3×3 por uma 3×1, resultando em uma matriz 3×1 com as coordenadas do produto vetorial.
Significado físico do produto vetorial
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| Figura 01 |
Seja, conforme Figura 03, uma força F cuja distância até o ponto 0 é dada pelo vetor 01.
O produto vetorial desses dois vetores dá o momento da força em relação ao ponto 0.
Segundo leis da mecânica clássica, um corpo está em equilíbrio estático se a soma das forças e a soma dos momentos atuantes são nulas.
Se todas as forças atuantes estão no mesmo plano ou em planos paralelos, basta considerar os produtos dos módulos das forças pelas distâncias no cálculo dos momentos. Caso contrário, a condição de equilíbrio só pode ser verificada com os momentos vetoriais.
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Referências: APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969. |
Planetmath. http://planetmath.org/. VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971. |