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Produto escalar

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O produto escalar dos vetores a e b é dado pelo produto dos seus módulos multiplicado pelo co-seno do ângulo entre eles. A notação clássica é a·b. Na prática, é comum a supressão do ponto, de forma similar à da multiplicação comum: ab.

Figura 01

a·b = |a| |b| cos α #A.1#.

Notar que, graficamente, equivale à projeção de b sobre a multiplicada pelo módulo de a ou vice-versa. Ver Figura 01.

Se dois vetores fazem um ângulo reto entre si, o seu produto escalar é nulo porque cos 90 = 0.

Algumas propriedades do produto escalar:

a·b = b·a			#B.1#
(a + b)·c = a·c + b·c		#B.2#
(ma)·b = m (a·b)		#B.4#
(ma)·(nb) = (mn) a·b		#B.5#

No caso particular

a·a = |a|2 #C.1#,

o produto é denominado quadrado escalar do vetor a.


Produto escalar em termos de coordenadas: consideram-se os vetores:

a {Xa, Ya, Za}
b {Xb, Yb, Zb}.

O produto escalar é dado por:

a·b = XaXb + YaYb + ZaZb  #D.1#.


Vetores podem ser representados em forma de matrizes de coluna. Os vetores a e b abaixo são dados por matrizes 3×1 que contêm suas coordenadas.



Matriz transposta de outra matriz é a matriz formada pela troca de linhas com colunas. Portanto, a matriz transposta do vetor a, ou seja, a^T, é



Segundo a regra da multiplicação de matrizes, o produto a^T b é a matriz 1×1 abaixo.



Portanto, na notação matricial, o produto escalar é dado por:

a·b = aT b #E.1#.


Ângulo entre dois vetores

cos α =	a·b	=	XaXb + YaYb + ZaZb	#F.1#
	|a| |b|		(Xa2 + Ya2 + Za2)1/2 (Xb2 + Yb2 + Zb2)1/2

Condição de perpendicularidade

• Se a e b são perpendiculares entre si, então a·b = 0.

• Se a·b = 0, a e b são perpendiculares entre si.

Figura 03

Significado físico do produto escalar

Há inúmeros exemplos de aplicação de produto escalar em fenômenos físicos. Seja o caso do trabalho de uma força:

No esquema da Figura 03, se um ponto material se desloca de 0 até 1 sob ação de uma força F constante, então o produto escalar de F pelo vetor 01 é o trabalho executado por essa força.


Produto escalar e soma de vetores

A Figura 04 dá a representação gráfica da soma simples c = a + b. Por trigonometria, deduz-se a relação:

OC2 = OB2 + BC2. E pode-se também verificar:

Figura 04

OC = c.
OB = OA + AB = a + b cos φ.
BC = b sen φ.

Substituindo,

c2 = a2 + 2 a b cos φ + b2 cos2 φ + b2 sen2 φ.

Simplificando,

c2 = a2 + b2 + 2 a b cos φ. Mas a b cos φ é o produto escalar dos vetores a e b. Portanto, em módulo, a soma é dada por:

c2 = a2 + b2 + 2 a · b #G.1#.


Produto escalar e subtração de vetores

Figura 05

O caso de c = a − b equivale a c = a + (−b) conforme Figura 05.

Tem-se OC2 = OA2 + AC2.

OC = c.
OA = a − b cos φ.
AC = b sen φ.

c2 = (a − b cos φ)2 + b2 sen2 φ

c2 = a2 + b2 cos2 φ − 2 a b cos φ + b2 sen2 φ.

Simplificando,

c2 = a2 + b2 − 2 a b cos φ, porque cos2 φ + sen2 φ = 1. De forma similar ao caso anterior,

c2 = a2 + b2 − 2 a · b #H.1#.


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Referências: APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969.

Planetmath. http://planetmath.org/. VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971.