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Introdução
| Topo pág | Fim pág |De forma prática, o conceito de vetor pode ser bem assimilado com auxílio da representação matemática de grandezas físicas.
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| Figura 01 |
Outras grandezas (como velocidade, força, etc) precisam, além do valor escalar, de uma direção e graficamente são representadas por um segmento de reta com seta. São denominadas grandezas vetoriais.
Portanto, um vetor define corretamente a grandeza através do seu comprimento e do ângulo que faz com uma referência, conforme (b) da figura.
Notação
| Topo pág | Fim pág |- Nesta página e em outras deste site, vetores são simbolizados por um caractere alfabético, maiúsculo ou minúsculo, em negrito. Exemplos:
- Vetor a, vetor B, vetor v, etc.
- Há também o símbolo de seta acima do caractere, mas aqui não é adotado. Exemplo:
- Vetor
. - Em alguns casos, os vetores são designados por letras ou números nas suas extremidades. Exemplo:
- MN da Figura 01 do tópico anterior. O ponto M é a origem do vetor.
- O módulo do vetor é simbolizado pelo caractere sem negrito. Assim, para o vetor v,
v = | v |. Equivale ao comprimento ℓ da Figura 01 do tópico anterior. Também denominado valor absoluto, magnitude.- Graficamente, os vetores são em geral representados por um segmento de reta com seta conforme Figura 01 do tópico anterior. Algumas vezes, por razões de conveniência ou de clareza, precisa-se de uma representação simples para vetores perpendiculares ao plano do próprio documento. São usados os símbolos:
vetor na direção do leitor para o papel (ou tela).
vetor na direção do papel (ou tela) para o leitor.
Igualdade e oposição
| Topo pág | Fim pág |Dois ou mais vetores são iguais se têm idênticos comprimentos e direções. Assim, eles estão em segmentos de reta paralelos, podendo ser coincidentes ou não. Na Figura 01 deste tópico,
a = b.Dois vetores são opostos se têm o mesmo comprimento e direções opostas. De forma similar, estarão em segmentos de retas paralelos, coincidentes ou não. A oposição é marcada por sinal negativo:
c = − d.
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| Figura 01 |
Exemplo: supõe-se que c e d da Figura 01 ao lado são forças atuantes em um mesmo corpo. Se estão no mesmo alinhamento, nenhuma efeito é observado. Se estão deslocados conforme figura, há um esforço de rotação (momento) sobre o corpo, tanto maior quanto maior a distância entre eles.
Na Figura 01, os vetores têm o mesmo comprimento, isto é,
| a | = | b | = | c | = | d |.A diferença de direção é condição suficiente para a desigualdade, independente do comprimento. Por exemplo,
b ≠ c apesar de | b | = | c |.Multiplicação por um escalar
| Topo pág | Fim pág |A multiplicação ou divisão por um escalar resulta num vetor em segmento de reta paralelo ao vetor original ou coincidente com este último.
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| Figura 01 |
Vetor unitário é um vetor de módulo igual a uma unidade de referência no sistema em que se trabalha. Se u é um vetor unitário, então um vetor genérico a na mesma direção é dado por
a = |a| u = a u #A.1#.O vetor unitário na mesma direção de um vetor genérico a é também denominado versor desse vetor e algumas vezes simbolizado por a^. Portanto,
a^ = a / |a| #A.2#.Soma e subtração de vetores
| Topo pág | Fim pág |Para somar graficamente dois vetores a e b conforme Figura 01, move-se a origem de um até coincidir com o final do outro. A origem e o final restantes definem o vetor representativo da soma vetorial, de acordo com a mesma figura.
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| Figura 01 |
Se
| a + b | = | a | + | b |, então a e b têm a mesma direção.
Para a subtração, consideram-se na Figura 02 os mesmos vetores a e b da figura anterior. Conforme parte esquerda, faz-se a coincidência das origens e as extremidades restantes formam o vetor da diferença.
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| Figura 02 |
a − b = a + (− b).
De forma similar à adição, o módulo da diferença não é necessariamente igual à diferença dos módulos.
Se
| a − b | = | a | − | b |, então a e b têm a mesma direção.
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| Figura 03 |
Juntam-se as origens e a diagonal do paralelogramo formado é a soma dos vetores.
Para vetores no espaço, pode-se usar a similar regra do paralelepípedo, conforme parte direita da mesma figura.
Algumas propriedades da soma e da multiplicação por escalar:
a + b = b + a #A.1# (m + n) a = ma + na #A.2# m (na) = (mn)a #A.3# a + (b + c ) = (a + b) + c #A.4# m (a + b) = ma + mb #A.5#
Coordenadas de um vetor
| Topo pág | Fim pág |Considerando as regras da soma vetorial, se a origem de um sistema de coordenadas xy coincide com a origem do vetor, pode-se facilmente verificar que esse vetor é igual à soma dos vetores formados por suas projeções em cada eixo.
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| Figura 01 |
A = Ax + Ay #A.1#.Ou seja, os vetores Ax e Ay são os componentes do vetor no sistema de coordenadas.
Sejam os vetores unitários nos eixos de coordenadas:
ux = i #A.2# uy = j #A.3#
Então,
A = Ax i + Ay j #A.4#.Os escalares Ax e Ay são as coordenadas do vetor no sistema.
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| Figura 02 |
A = Ax i + Ay j + Az k #A.5#.Onde
uz = k #A.6# e os demais conforme #A.2# e #A.3#.Para simplificar a notação, muitas vezes é usada a forma
a{Xa, Ya, Za} #B.1#.Exemplos:
a{2, 3, 0}, b{−1, 12, 8}, etc.
O módulo do vetor pode ser dado por suas coordenadas:
|a| = (Xa2 + Ya2 + Za2)1/2 #C.1#.Condição de paralelismo: se os vetores a e b são paralelos, as suas coordenadas são proporcionais:
Xb / Xa = Yb / Ya = Zb / Za = c #D.1#.Se o coeficiente de proporcionalidade c é positivo, eles têm a mesma direção. Se negativo, eles são opostos (obs: se um dos coeficientes de a é nulo, fica subentendido que o correspondente de b também é nulo).
Soma de vetores: se vetores são somados, o resultado tem as somas das coordenadas. Seja
c = a + b #E.1#. Então,Xc = Xa + Xb #E.2# Yc = Ya + Yb #E.3# Zc = Za + Zb #E.4#
Multiplicação ou divisão por um escalar: as coordenadas do resultado têm a analogia. Seja
c = m a #F.1#. Então,Xc = m Xa #F.2# Yc = m Ya #F.3# Zc = m Za #F.4#
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Referências: APOSTOL, Tom M. Calculus. USA: Blaisdell, 1969. |
Planetmath. http://planetmath.org/. VYGODSKY, M. Mathematical Handbook. Moscow: Mir Publishers, 1971. |