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Probabilidades e estatística : Análise de variância Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Introdução e exemplo |

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Introdução e exemplo

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Basicamente, o método consiste em dividir a variação dos dados em uma porção devida a erros aleatórios e uma porção devida a mudança de valores da variável independente.

A variância de uma amostra de n elementos é dada por:

s2 = ∑	(yi − y)2	#A.1#.
	n − 1

Omitindo o procedimento matemático, a fórmula anterior pode ser reescrita para:

s2 =	∑ yi2 − (∑ yi)2/n	#A.2#.
	n − 1

São comuns as designações para os termos dessa igualdade:

Σ yi2

#A.3#: Soma dos quadrados.

(Σ yi)2/n

#A.4#: Correção para a média.

Σ yi2 − (Σ yi)2/n

#A.5#: Soma dos quadrados corrigida. Símbolo inglês usual SStotal.

(n − 1)

#A.6#: Graus de liberdade.

Nesta análise, é empregado o conceito de tratamento, que pode ser definido como uma combinação específica de fatores cujos efeitos podem ser comparados com outros tratamentos. Exemplo: se, em uma indústria, uma mesma peça é produzida por máquinas diferentes, cada máquina pode ser considerada um tratamento.

A igualdade a seguir indica a relação entre a resposta e o tratamento para uma análise de variância de uma variável.

Yij = μ + τi + εij #B.1#. Onde:

Yij

Observação de ordem j do tratamento de ordem i.

μ

Efeito comum de todo o experimento.

τi

Efeito do tratamento de ordem i.

εij

Erro aleatório da observação de ordem j do tratamento de ordem i. Supostamente, esses erros são independentes e têm distribuição normal de média nula e determinada variância σ².

Para a formulação do método, são considerados:

I

#C.1#: Número de tratamentos ou 1 ≤ i ≤ I.

J

#C.2#: Número de observações para cada tratamento ou 1 ≤ j ≤ J.

C = (Σ yij)2/(IJ)

#C.3#: Correção para a média (ver #A.4#).

E a soma dos quadrados é dividida em parcelas em conformidade com #B.1#, considerando que μ é fixo:

SStotal = SStrat + SSerr #D.1#. Onde:

SStotal = ΣΣ yij2 − C #D.2#.

SStrat = (1/J) Σ yi2 − C #D.3#.

A soma dos quadrados dos erros (SS_err, também denominada resíduo) é calculada a partir de #D.1#.

De acordo com #A.2#, a soma dos quadrados dividida pelo grau de liberdade resulta na variância ou quadrado médio (sigla inglesa MS). E o método pode ser resumido pela tabela a seguir.

Tabela 01

Variação	Soma dos quadrados	Graus de liberdade	Quadrado médio	Estatística
Tratamento	SStrat	I − 1	MStrat = SStrat/(I − 1)	F = MStrat/MSerr
Erro	SSerr	IJ − I	MSerr = SSerr/(IJ − I)
Total	SStotal	IJ − 1

As hipóteses nula e alternativa são:

H0 : τ1 = τ2 = ... = τI = 0                 #E.1#
H1 : existe pelo menos um i tal que τi ≠ 0  #E.2#

Considerando um nível de significância α, a hipótese nula é rejeitada se, calculando conforme Tab 01,

F > fα I−1 IJ−I #E.3#.

Onde fα I−1 IJ−I é o valor da distribuição F para área à direita α e (I−1) (IJ−I) graus de liberdade.


Exemplo: em uma hipotética indústria, as linhas 1, 2, 3 e 4 da Tabela 02 indicam máquinas distintas que fazem uma mesma operação para um mesmo tipo de peça. As colunas de 1 a 8 são peças produzidas e os os valores abaixo são as deformações observadas em uma determinada dimensão da peça. Verificar se há relação entre as máquinas e as deformações com nível de significância de 1%.

Tabela 02

↓i   j→	1	2	3	4	5	6	7	8	Σj yij	(Σj yij)2	Σj yij2
1	0,23	0,16	0,22	0,19	0,15	0,23	0,27	0,21	1,64	2,70	0,35
2	0,44	0,58	0,49	0,53	0,57	0,62	0,50	0,48	4,22	17,79	2,25
3	0,19	0,14	0,24	0,25	0,18	0,23	0,22	0,27	1,72	2,97	0,38
4	0,34	0,37	0,35	0,18	0,28	0,20	0,17	0,24	2,12	4,51	0,61
									9,71	27,97	3,59

As quantidades de tratamentos e experimentos são I = 4 e J = 8. Segundo #C.3#,

C = (Σ yij)2/(IJ) = 9,712 / (4 8) ≈ 2,946.

Segundo #D.2#,

SStotal = ΣΣ yij2 − C = 3,59 − 2,946 = 0,644.

Conforme #D.3#,

SStrat = (1/J) Σ yi2 − C = 27,97/8 − 2,946 ≈ 0,55.

Conforme #D.1#,

SSerr = SStotal − SStrat = 0,644 − 0,55 = 0,094.

Segundo Tabela 01,

MStrat = SStrat/(I − 1) = 0,55 / 3 ≈ 0,183.

MSerr = SSerr/(IJ − I) = 0,094 / 28 ≈ 0,0033.

F = MStrat/MSerr = 0,183 / 0,0033 ≈ 55,5.

Conforme tabela da distribuição F, f_{1% 3 28} ≈ 4,568. A hipótese nula é, portanto, rejeitada e há pelo menos um tratamento (máquina, no caso) significativo para 1% de significância.


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Referências:

NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.