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Teste de hipóteses - Introdução
| Topo pág | Fim pág |Sejam as premissas:
• θ: parâmetro de valor desconhecido.
• Ω: conjunto de todos os valores possíveis (domínio) de θ.
• Ω0 e Ω1: subconjuntos de Ω tais que Ω0
Ω1 = Ω e Ω0 
Ω1 = Ø.Sejam as hipóteses:
• H0 hipótese nula: θ
Ω0.• H1 hipótese alternativa: θ
Ω1.O teste de hipóteses consiste em decidir a aceitação de H0 ou a aceitação de H1.
| H0 verdadeira | H0 falsa | |
| Prob aceitar H0 | 1 − α | β |
| Prob rejeitar H0 | α | 1 − β |
Indicadores das probabilidades de erros conforme Tabela 01.
1 − α: nível de confiança do teste.
1 − β: poder do teste.
• Erro tipo I ocorre se H0 é rejeitada quando, na realidade, é verdadeira. A probabilidade desse erro (α) é denominada nível de significância do teste.
• Erro tipo II ocorre se H0 é aceita quando H1 é verdadeira. O parâmetro β é a probabilidade da sua ocorrência.
A) Teste para a média de uma população com desvio-padrão conhecido
Sejam: n tamanho da amostra, X média da amostra, μ0 média da população, μ média a testar da população, σ desvio-padrão.
As hipóteses a testar são:
H0: μ = μ0.
H1: μ ≠ μ0.
A variável aleatória
Z = (X − μ0) / (σ/√n) #A.0# deve ter distribuição N(0, 1). Considerando 1 − α o coeficiente de confiança do teste,Aceita-se H0 se
−zα/2 ≤ Z ≤ +zα/2. De outra forma, |Z| ≤ zα/2 #A.1#.Rejeita-se H0 se
Z < −zα/2 ou z > +zα/2. De outra forma, |Z| > zα/2 #A.2#.B) Teste para a média de uma população com desvio-padrão desconhecido
Sejam: n tamanho da amostra, X média da amostra, μ0 média da população, μ média a testar da população, s desvio-padrão da amostra.
As hipóteses a testar são:
H0: μ = μ0.
H1: μ ≠ μ0.
A variável aleatória
T = (X − μ0) / (s/√n) #B.0# deve ter distribuição t-student com n − 1 graus de liberdade, t(n −1). Considerando 1 − α o coeficiente de confiança do teste,Aceita-se H0 se
−tα/2 ≤ T ≤ +tα/2. De outra forma, |T| ≤ tα/2 #B.1#.Rejeita-se H0 se
T < −tα/2 ou T > +tα/2. De outra forma, |T| > tα/2 #B.2#.Exemplo 01: uma máquina de encher garrafas está ajustada para o volume de 500 ml, com desvio-padrão conhecido de 20 ml. O procedimento de controle estatístico mede, em intervalos regulares, o volume de lotes de 16 garrafas enchidas. Com um nível de confiança de 99%, verificar se a máquina deve ser regulada se for constatado um lote com média de 492 ml.
Solução: este é o caso A anterior. Os dados conhecidos são:
n = 16.
μ0 = 500 ml.
σ = 20 ml.
1 − α = 0,99 ou α/2 = 0,005.
X = 492 ml.
O valor da variável aleatória é
Z = (492 − 500) / (20/√16) = −1,6. As hipóteses são:H0: μ = 500 ml.H1: μ ≠ 500 ml.Segundo tabela da distribuição normal padrão,
z0,005 ≈ 2,58. Desde que |Z| < z0,005, a hipótese H0 deve ser aceita conforme #A.1# e a máquina não precisa ser regulada.Exemplo 02: a concentração máxima permitida para determinado poluente em efluentes líquidos é supostamente 30 mg/l. A análise de 25 amostras do efluente de uma indústria resultou em média 31,5 mg/l e desvio-padrão 3 mg/l. Sob o nível de confiança de 95%, verificar se essa indústria atende ao padrão estabelecido.
Solução: este é o caso B anterior. Os dados conhecidos são:
n = 25.
μ0 = 30 mg/l.
s = 3 mg/l.
1 − α = 0,95 ou α/2 = 0,025.
X = 31,5 mg/l.
Segundo #B.0#, o valor da variável aleatória é
T = (31,5 − 30) / (3/√25) = 2,5. As hipóteses a considerar são:H0: μ = 30 mg/l.H1: μ ≠ 30 mg/l.Segundo tabela da distribuição t-student,
t0,025|24 ≈ 1,71. Desde que |T| > t0,025|24, pode-se afirmar que, no nível de confiança de 95%, a indústria não atende ao limite de emissão do poluente.Topo | Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Última revisão ou atualização: Jan/2008
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