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Probabilidades e estatística III-68 Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Intervalo de confiança para diferença entre proporções | Intervalo de confiança para a variância da população |

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Intervalo de confiança para diferença entre proporções

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Sejam as amostras:

X1 ... Xm da população X cujos valores são 0 ou 1.
Y1 ... Yn da população Y cujos valores são 0 ou 1.

Na página Probabilidades e estatística III-64 foi dado que as médias (X ou Y) são estimadores das proporções (p_x e p_y) de valores 1 nas populações e intervalos de confiança podem ser calculados para essas proporções.

A dedução da fórmula para a diferença (p_x − p_y) é simples e aqui não é feita. O resultado é análogo ao da proporção individual já visto na mesma página:

ℓ1 = (X − Y) − zα/2 √[	X(1 − X)	+	Y(1 − Y)	]	#A.1#
	m		n

ℓ2 = (X − Y) + zα/2 √[	X(1 − X)	+	Y(1 − Y)	]	#A.2#
	m		n

P[ ℓ1 ≤ (px − py) ≤ ℓ2 ] = 1 − α #A.3#.

Onde:

ℓ₁, ℓ₂

: limites inferior e superior do intervalo de confiança.

X, Y

: médias das amostras.

z_α/2

: valor de z da distribuição normal padrão para área à direita α/2.

m, n

: números de elementos das amostras.

p_x, p_y

: proporções (desconhecidas) das populações.

1 − α

: coeficiente de confiança desejado (ex: um valor comum é 95% e, portanto, α = 0,05).

Obs: os resultados são aproximados, válidos para tamanhos grandes de amostras.


Exemplo 01: da população de uma região foram pesquisadas amostras de 300 homens e 400 mulheres sobre a preferência da compra de um certo produto pela Internet. 75 homens e 90 mulheres disseram preferir comprar pela Internet a ir às lojas. Determinar o intervalo de confiança a 95% para a diferença entre as proporções.

Supõe-se que as populações X e Y das fórmulas anteriores correspondem, respectivamente, às populações de homens e mulheres do exemplo. Portanto, m = 300, n = 400, 1 − α = 0,95 ou α = 0,05.

X = 75 / 300 = 0,25. Também Y = 90 / 400 = 0,225.

Na tabela desta página para a distribuição normal padrão, deve-se procurar, conforme visto na página anterior, z para (0,5 − α/2) = 0,475 (isso ocorre porque a tabela dá a área de 0 a z e não à direita de z). Então, z_α/2 = 1,96.

Calculando segundo #A.1# e #A.2#, ℓ₁ ≈ −0,039 e ℓ₂ ≈ 0,089. Portanto, a diferença entre as preferências de homens e mulheres pode variar de aproximadamente −3,9% a +8,9% com coeficiente de confiança de 95%.

Intervalo de confiança para a variância da população

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Segundo tópico Distribuição chi-quadrado, igualdade #H3#, a relação de uma distribuição normal

(n − 1) s2 / σ2 #A.1# tem distribuição chi-quadrado com n − 1 graus de liberdade ou ~χ2n − 1.

Considerando 1 − α o coeficiente de confiança e usando método similar aos dos tópicos anteriores sobre intervalos,

P[ χ2(1 − α/2)(n − 1) ≤	(n − 1) s2	≤ χ2(α/2)(n − 1) ] = 1 − α
	σ2

Reagrupando a igualdade acima, chega-se a:

ℓ1 =	(n − 1) s2		#B.1#
	χ2(α/2)(n − 1)

ℓ2 =	(n − 1) s2		#B.2#
	χ2(1 − α/2)(n − 1)

P[ ℓ1 ≤ σ2 ≤ ℓ2 ] = 1 − α  #B.3#.

ℓ₁

: limite inferior do intervalo de confiança.

ℓ₂

: limite superior do intervalo de confiança.

n

: número de elementos da amostra.

s

: desvio-padrão da amostra (ver Probabilidades e estatística III-10).

χ²_{(α/2)(n − 1)}

: valor da variável aleatória de distribuição χ² com n − 1 graus de liberdade para área á direita igual a α/2.

χ²_{(1 − α/2)(n − 1)}

: idem para (1 − α/2). Lembrar que a distribuição chi-quadrado não é simétrica.

σ²

: variância da população, presumivelmente desconhecida.

1 − α

: coeficiente de confiança desejado (ex: um valor comum é 95% e, portanto, α = 0,05).

Exemplo 01: uma amostra de 25 elementos de uma população de distribuição normal apresenta média 7,01 e desvio-padrão 3,74. Determinar um intervalo de confiança a 95% para a variância populacional.

São dados:

n = 25 ou n − 1 = 24.

s = 3,74 ou s² ≈ 13,99.

1 − α = 0,95 ou α = 0,05 ou α/2 = 0,025 ou 1 − α/2 = 0,975.

Segundo a tabela para a distribuição chi-quadrado deste site, obtêm-se os valores:

χ²_{(α/2)(n − 1)} = χ²_(0,025)(24) = 39,364. Também χ²_{(1 − α/2)(n − 1)} = χ²_(0,975)(24) = 12,401.

Conforme #B.1# e #B.2#, ℓ₁ = 24 13,99 / 39,364 ≈ 8,53 e ℓ₂ = 24 13,99 / 12,401 ≈ 27,08.

Portanto, 8,53 ≤ σ² ≤ 27,08 para confiança 95%.


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Referências: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

WOLFRAM MATHWORLD. http://mathworld.wolfram.com/.