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Estimar diferenças entre parâmetros é um procedimento que pode ser útil quando se deseja comparar populações com alguma semelhança entre si. Exemplos: lotes de uma mesma peça produzidos por linhas ou fornecedores diferentes, resultados de aproveitamento de um mesmo curso ministrado com métodos diferentes, etc.
Intervalo de confiança: diferença de médias com σ² conhecidos
| Topo pág | Fim pág |Sejam as amostras:
X1 ... Xm da população X de média μx e desvio-padrão σx Y1 ... Yn da população Y de média μy e desvio-padrão σy
Da página Probabilidades e estatística III-62 pode-se tirar as relações para tamanho grande de amostra:
| X − μx | tem distribuição normal padrão ou ~N(0, 1). | |
| σx / √m |
| Y − μy | tem distribuição normal padrão ou ~N(0, 1). | |
| σy / √n |
Deduz-se então que a variável
| (X − Y) − (μx − μy) | tem distribuição normal padrão ou ~N(0, 1). | |
| √[ (σx² / m) + (σx² / n) ] |
É usada, com adaptação, a mesma fórmula da média com desvio-padrão conhecido para o intervalo de confiança da diferença de médias
P[ ℓ1 ≤ (μx − μy) ≤ ℓ2 ] = 1 − α #A.1# com os limites inferior e superior dados por:ℓ1 = (X − Y) − zα/2 √[ (σx² / m) + (σy² / n) ] #A.2#.ℓ2 = (X − Y) + zα/2 √[ (σx² / m) + (σy² / n) ] #A.3#.Exemplo 01: suponha que os salários anuais de duas categorias profissionais A e B sejam dados pelas amostras a seguir.
Categoria A: 100 pessoas, salário médio 35000/ano, σ da população 2000. Categoria B: 400 pessoas, salário médio 40000/ano, σ da população 1500.
Determinar um intervalo de confiança de 95% para a diferença entre os salários médios dessas categorias.
Considerando A e B as populações X e Y das fórmulas anteriores,
m = 100, μx = 35000, σx = 2000, n = 400, μy = 40000, σy = 1500.
Para coeficiente de confiança 95%, tem-se 1 − α = 0,95 ou α = 0,05. Na tabela desta página para a distribuição normal padrão, deve-se procurar, conforme visto em páginas anteriores, z para (0,5 − α/2) = 0,475 (isso ocorre porque a tabela dá a área de 0 a z e não à direita de z). Então, zα/2 = 1,96.
Usando as fórmulas #A.2# e #A.3#,
ℓ1 = (35000 − 40000) − 1,96 √[ (20002/100) + (15002/400) ] ≈ − 5419.
ℓ2 = (35000 − 40000) + 1,96 √[ (20002/100) + (15002/400) ] ≈ − 4581.
Portanto, − 5419 ≤ (μx − μy) ≤ − 4581 para nível de confiança 95%.
Intervalo de confiança: diferença de médias com σ² desconhecidos e iguais
| Topo pág | Fim pág |Sejam as amostras:
X1 ... Xm da população X de média μx e desvio-padrão σ Y1 ... Yn da população Y de média μy e desvio-padrão σ
É possível demonstrar que a variável
| V = | [ (X − Y) − (μx − μy) ] / √(1/m + 1/n) | #A.1# | |
| √{ [ (m − 1)sx2 + (n − 1)sy2 ] / (m + n − 2) } |
tem distribuição t-student com (m + n − 2) graus de liberdade ou V~t(m + n − 2).
Usando método similar ao dos tópicos anteriores, pode-se concluir que os limites de um intervalo de confiança para a diferença (μx − μy) com coeficiente de confiança (1 − α) são dados por:
| ℓ1 = (X − Y) − tα/2, (m + n − 2) √{ | (m − 1)sx2 + (n − 1)sy2 | } √(1/m + 1/n) | #B.1# |
| (m + n − 2) |
| ℓ2 = (X − Y) + tα/2, (m + n − 2) √{ | (m − 1)sx2 + (n − 1)sy2 | } √(1/m + 1/n) | #B.2# |
| (m + n − 2) |
Portanto,
P[ ℓ1 ≤ (μx − μy) ≤ ℓ2 ] = 1 − α #C.1#Exemplo 01: um processo industrial usa uma ferramenta fabricada de aço tipo A, da qual uma amostra de 10 unidades apresentou vida média de 1400 h e desvio-padrão de 120 h. A mesma ferramenta passou a ser fabricada com aço tipo B e um lote de 20 unidades apresentou vida média de 1200 h e desvio-padrão de 100 h. Desde que o processo de fabricação da ferramenta não mudou, pode-se supor idênticos os desvios-padrão das populações de cada amostra. Determinar o intervalo de confiança a 95% para a diferença entre as médias das populações de ambos os tipos de ferramenta.
Tem-se 1 − α = 0,95 ou α = 0,05 ou α/2 = 0,025.
Considerando A e B as populações X e Y das fórmulas anteriores,
m = 10, X = 1400, sx = 120, n = 20, Y = 1200, sy = 100. Portanto, m + n − 2 = 28.
Segundo a tabela da distribuição t-student deste site, para ν = 28 e A = 0,025, t = 2,048.
Calculam-se agora os limites
ℓ1 = (1400 − 1200) − 2,048 √{ [ (10 − 1)1202 + (20 − 1)1002 ] / (10 + 20 − 2) } √(1/10 + 1/20) ≈ 115,32.
ℓ2 = (1400 − 1200) + 2,048 √{ [ (10 − 1)1202 + (20 − 1)1002 ] / (10 + 20 − 2) } √(1/10 + 1/20) ≈ 284,68.
Assim, 115,32 ≤ (μx − μy) ≤ 284,68 para coeficiente de confiança 95%.
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Referências: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/. |
WOLFRAM MATHWORLD. http://mathworld.wolfram.com/. |