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Probabilidades e estatística III-64

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Distribuição de Bernoulli

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Segundo página Probabilidades e estatística II-20, a função de probabilidade da distribuição binomial é

p(x) = P(X = x) = C(n, x) p^x q^{(n − x)} #A.1#. Onde:

x: : número de sucessos.
n: : número de tentativas.
p: : probabilidade de sucesso.
q: : probabilidade de falha q = 1 − p #A.3#.

Ou seja, ela indica a probabilidade de x sucessos em n tentativas, supondo cada uma com probabilidade de sucesso p e probabilidade de falha q.

A distribuição de Bernoulli é a distribuição binomial com n = 1. Neste caso, x = 1 (sucesso) ou x = 0 (falha), ou seja, a variável aleatória X é tal que

P(X = 1) = p = 1 − P(X = 0) = 1 − q #B.1#. Então, a função de probabilidade é dada por:

p(x) = p^x (1 − p)^{1 − x} para x = 0 ou x = 1.

p(x) = 0 nos demais casos #C.1#.

A média e a variância podem ser obtidas da citada página, fazendo n = 1:

E(X) = p #D.1#.

Var(X) = p (1 − p) #D.2#.

Considera-se agora uma amostra X₁, X₂, … , X_n de uma população com distribuição de Bernoulli de probabilidade de sucesso p. A função de verossimilhança é dada por:

V(X₁, X₂, … , X_n | p) = ∏ p(X_i) = p^{(X₁ + … + X_n)} (1 − p)^{n − (X₁ + … + X_n)}. Calculando o logaritmo,

ln V = (X₁ + … + X_n) ln p + [ n − (X₁ + … + X_n) ] ln (1 − p).

Para determinar o valor de p que maximiza ln V, a derivada em relação a p é igualada a zero:

∂ ln V / ∂ p = (X₁ + … + X_n) / p − [ n − (X₁ + … + X_n) ] / (1 − p) = 0.

Resolvendo para p, obtém-se o estimador:

p^ =	X₁ + ... + X_n	= X	#E.1#.
	n

O resultado acima indica que a média da amostra X é o estimador para o parâmetro p (probabilidade de sucesso) da população.

Intervalo de confiança para proporção de uma população

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Sejam questões conforme exemplos abaixo:

• p é a probabilidade de peça boa de uma linha de produção (e, naturalmente, 1 − p é a de peça defeituosa).

• p é a probabilidade de um cidadão de determinado país ser favorável ao aumento de gastos do estado (e 1 − p, a probabilidade de ser contra).

Nos casos acima e em outros similares, pode-se considerar genericamente p a probabilidade de sucesso e 1 − p a probabilidade de falha. E, da definição de probabilidade, conclui-se facilmente que p é a proporção de sucessos na população em estudo. A questão agora é calcular, a partir de dados de uma amostra, um intervalo de confiança para essa proporção.

Considerando sucesso X = 1 e falha X = 0, pode-se supor a distribuição de Bernoulli conforme tópico anterior. E, de acordo com igualdade #E.1# do mesmo tópico, a média X da amostra é o estimador da proporção p (esta, por sua vez, é a média da população conforme #D.1# do mesmo tópico).

Usam-se então os mesmos conceitos do tópico Intervalo de confiança para média da página anterior, substituindo apenas o símbolo μ por p. E a fórmula é escrita

P( X − z_α/2 σ / √n ≤ p ≤ X + z_α/2 σ / √n ) = P( l₁ ≤ p ≤ l₂ )= 1 − α.

Ainda não há um valor para o desvio-padrão σ da população. Segundo #D.2# do tópico anterior,

Var(X) = p (1 − p) ou σ = √[ p (1 − p) ].

Desde que a média X é o estimador para p, pode-se usar X no lugar de p na igualdade acima para estimar o desvio-padrão. E a igualdade do intervalo de confiança fica:

P[ (X − z_α/2 √	X(1 − X)	) ≤ p ≤ (X + z_α/2	X(1 − X)	) ] =	P( ℓ₁ ≤ p ≤ ℓ₂ )	= 1 − α	#A.1#.
	n		n

Onde:

X: : média da amostra.
z_α/2: : valor de z da distribuição normal padrão para área à direita α/2.
n: : número de elementos da amostra.
p: : proporção da população (desconhecida e para a qual se deseja um intervalo de confiança).
ℓ₁: = X − z_α/2 √[ X(1 − X) / n ] #B.1#: limite inferior do intervalo de confiança.
ℓ₂: = X + z_α/2 √[ X(1 − X) / n ] #B.2#: limite superior do intervalo de confiança.
1 − α: : coeficiente de confiança desejado (ex: um valor comum é 95% e, portanto, α = 0,05).

Exemplo 01: uma pesquisa em uma amostra de 100 pessoas da população de uma determinada região, sobre a preferência entre a cerveja de marca A e a cerveja de marca B, resultou em 60 pessoas a favor da marca A. Calcular o intervalo de confiança a 95% para essa proporção.

Solução: os seguintes dados são disponíveis:

n = 100.
X = [60 × 1 + 40 × 0] / 100 = 0,6.
1 − α = 0,95 ou α = 0,05.

Na tabela desta página para a distribuição normal padrão, deve-se procurar, conforme comentado em página anterior, z para (0,5 − α/2) = 0,475 (isso ocorre porque a tabela dá a área de 0 a z e não à direita de z). O valor obtido é

z_α/2 = 1,96. E os limites são calculados conforme igualdades #B.1# e #B.2#

l₁ = 0,6 − 1,96 √ [0,6 (1 − 0,6) / 100] ≈ 0,504.

l₂ = 0,6 + 1,96 √ [0,6 (1 − 0,6) / 100] ≈ 0,696.

E o resultado é 0,504 ≤ p ≤ 0,696 com coeficiente de confiança de 95%. Em termos percentuais, pode-se dizer que a preferência pela marca A oscila entre 50,4% e 69,6% com esse nível de confiança.

Regra prática para tamanho da amostra

Das igualdades #B.1# e #B.2#, pode-se considerar que o erro da proporção é

e = z_α/2 √[ X(1 − X) / n ] #C.1#.

Desde que X é um estimador da probabilidade p, ele só pode variar de 0 a 1. Então, o maior valor de X(1 − X) é 0,25, que ocorre para X = 0,5.

Para o nível de confiança 95%, o valor de z_α/2 (que é aproximadamente 1,96) pode ser arredondado para 2. Substituindo esse valor e o anterior em #C.1#, o resultado é uma aproximação conservadora para o erro máximo em função do tamanho da amostra:

e ≈ 2 √( 0,25 / n ). Simplificando e reagrupando,

n ≈	1		#D.1#.
	e²

Alguns resultados numéricos:

n =   100   e =  0,1 (10%)
n =  1000   e ≈ 0,03 ( 3%)
n = 10000   e = 0,01 ( 1%)

Erros calculados dessa forma podem ser vistos em notícias sobre pesquisas de opinião, preferência eleitoral e similares.

Para uma população finita de tamanho N, deve ser aplicado ao erro um fator de correção para população finita:

√[ (N − n) / (N − 1) ] #E.1#.

Assim, e = (1 / √n) √[ (N − n) / (N − 1) ] #E.2#.

Supondo n₀ um tamanho inicial sem considerar a correção, e = (1 / √n₀) #E.3#.

Igualando #E.2# e #E.3# e resolvendo,

n =	n₀ N		#E.4#.
	n₀ + (N − 1)

Em algumas referências, o valor (N − 1) é aproximado para N e a igualdade anterior é simplificada:

n =	n₀ N		#E.5#.
	n₀ + N

Notar que, se N >> n₀, n ≈ n₀. Observar também que o valor de n é menor que o de n₀ porque é o ajuste para uma população finita.

Exemplo: seja uma pesquisa com erro máximo esperado de 4%. Então,

0,04 = 1 / √n₀ ou n₀ = 625. Se a população considerada é de 500 pessoas, a amostra corrigida deve ter

n = 625 500 / (625 + 500) ≈ 278 pessoas.

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Termos de uso

Referências:

NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

WOLFRAM MATHWORLD. http://mathworld.wolfram.com/.

C(n, x) =	n!		#A.2# (coeficiente binomial).
	(n − x)! x!