Probabilidades e estatística III-62

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Probabilidades e estatística III-62

Intervalos de confiança - Introdução

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Em páginas anteriores foram dados alguns exemplos de métodos para estimar parâmetros de uma população a partir de informações de uma amostra. Seja um caso comum: a média X de uma amostra é um estimador não polarizado para a média μ da população. Entretanto, a simples estimativa não dá idéia da proximidade ou do afastamento do valor real μ, ou melhor, da precisão do resultado.

Um método usual de especificar a precisão é determinar um intervalo de confiança para o parâmetro da população. Exemplo: pode-se dizer que ℓ₁ e ℓ₂ são, respectivamente, os limites inferior e superior de um intervalo de confiança de 95% para a média μ.

Um engano conceitual comum é supor que, no exemplo citado, há 95% de probabilidade de a média estar entre os limites ℓ₁ e ℓ₂. Considerando a população estável, a média é fixa, ou seja, ela só pode estar dentro ou fora de um intervalo e, portanto, esse conceito não é válido. Desde que intervalos de confiança são calculados a partir de amostras, o correto é dizer que, na repetição de amostras dessa população, em 95% dos casos a média μ estará entre os valores calculados ℓ₁ e ℓ₂.

Intervalo de confiança para média (desvio-padrão conhecido)

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Seja uma determinada população com os dados:

μ: média (desconhecida).
σ: desvio-padrão (conhecido).
X₁, X₂ ... X_n: uma amostra genérica dessa população.

Considera-se uma variável X igual á soma dos elementos da amostra:

X = X₁ + X₂ + ... + X_n#1.1#

Segundo o teorema do limite central (ver Distribuição normal), X tem distribuição N(nμ, nσ²) se n tende para infinito (na prática, pode-se supor n ≥ 20 para razoável aproximação). Portanto,

E(X) = nμ
Var(X) = nσ²

Usam-se agora as propriedades da multiplicação da média e da variância por um escalar:

E(aX) = a E(X)
Var(aX) = a² Var (X)

A média da amostra é

#2.1#

Aplicando essas propriedades à X,

#3.1#

#3.2#

Portanto, X tem distribuição

#A.1#

Usando método citado na página já mencionada, pode-se verificar que a variável Z abaixo tem distribuição normal padrão, N(0, 1):

#B.1#

De acordo com a função de densidade da distribuição normal padrão (Figura 01), pode-se ter dois valores simétricos −z_α/2 e z_α/2 tais que:

P(−z_α/2 ≤ Z ≤ z_α/2) = 1 − α#C.1#

Fig 01

Obs: dado α, o valor z_α/2 pode ser obtido de tabelas da distribuição normal padrão. Na tabela desta página, deve-se procurar z para (0,5 − α/2) porque ela se refere à área entre o ponto zero e o valor z.

Substituindo Z em #C.1# pelo seu valor segundo #B.1#,

#C.2#

Reagrupando os termos, chega-se à fórmula para o intervalo de confiança da média μ da população:

#D.1#

Onde:

X: média dos valores da amostra.
z_α/2: valor de z da distribuição normal padrão para área à direita α/2.
σ: desvio-padrão (supostamente conhecido) da população.
n: número de elementos da amostra.
μ: média da população (desconhecida e para a qual se deseja um intervalo de confiança).

ℓ₁: limite inferior do intervalo de confiança:

#D.2#

ℓ₂: limite superior do intervalo de confiança:

#D.3#

1 − α: coeficiente de confiança desejado (exemplo: um valor comum é 95% e, portanto, α = 0,05).

Exemplo 01: supõe-se que a variância do peso das pessoas adultas de sexo masculino de uma determinada região seja 144. Em uma amostra de 36 pessoas, foi encontrada uma média de 63,4 kg. Determinar o intervalo de confiança de 90% para a média dos pesos dessas pessoas.

Solução: os dados disponíveis são:

n = 36
σ² = 144. Portanto, σ = 12
X = 63,4
1 − α = 0,90 ou α = 0,10

Na tabela desta página para a distribuição normal, deve-se procurar, conforme dito anteriormente:

z para (0,5 − α/2) = 0,45

Esse valor não é exatamente encontrado na tabela mencionada. Ocorrem 0,4495 com z = 1,64 e 0,4505 com z = 1,65. Adota-se então uma interpolação simples com

z_α/2 = 1,645

E os limites são:

ℓ₁ = 63,4 − 1,645 × 12 / 6 = 60,11
ℓ₂ = 63,4 + 1,645 × 12 / 6 = 66,69

Portanto, o resultado é

60,11 ≤ μ ≤ 66,69 para 90% de confiança.

Se a variância ou o desvio-padrão da população não for conhecido, é possível uma aproximação com o uso, no lugar de σ, do desvio-padrão s calculado para a amostra. Nesse caso, é regra prática usar amostra com tamanho mínimo 30 em vez de 20 conforme anteriormente mencionado.

Intervalo de confiança para média (desvio-padrão desconhecido)

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Se o desvio-padrão da população não é conhecido, em vez da aproximação citada no tópico anterior, deve-se considerar que a variável Z tem distribuição t-student com n − 1 graus de liberdade. Usando o símbolo T no lugar de Z,

#A.1#

Naturalmente, o desvio-padrão da população σ é substituído por s (desvio-padrão da amostra):

#B.1#

E a relação para o intervalo de confiança é conforme #D.1# do tópico anterior, com a substituição do desvio-padrão e a substituição de z_α/2 por t_{α/2 n−1}, cujo valor pode ser encontrado nas tabelas da distribuição.

#C.1#

Onde:

X: média dos valores da amostra.
t_{α/2 n−1}: valor de distribuição t para área à direita α/2.
s: desvio-padrão da amostra.
n: número de elementos da amostra.
μ: média da população (desconhecida e para a qual se deseja um intervalo de confiança).

ℓ₁: limite inferior do intervalo de confiança:

#C.2#

ℓ₁: limite superior do intervalo de confiança:

#C.3#

1 − α: coeficiente de confiança desejado (exemplo: um valor comum é 95% e, portanto, α = 0,05).

Exemplo 01: seja uma amostra com os valores:

n = 25
X = 5
s = 0,5

Determinar o intervalo de confiança a 95% para a média μ da população.

Solução:

1 − α = 0,05 e, portanto, α/2 = 0,025

Também n − 1 = 24

Da tabela da distribuição t-student,

t_{0,025 24} = 2,064

Usando #C.2# e #C.3#,

ℓ₁ = 5 − 2,064 0,5 / √25 = 4,7936
ℓ₂ = 5 + 2,064 0,5 / √25 = 5,2064

Portanto 4,7936 ≤ μ ≤ 5,2064 para 95% de confiança.

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