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Distribuição t-student
| Topo pág | Fim pág |Esta distribuição foi descoberta pelo químico e estatístico inglês William Sealy Gosset em 1908. Entretanto, seu empregador na época proibia a divulgação de quaisquer trabalhos técnicos desenvolvidos por funcionários porque os considerava segredos comerciais. Para prevenir problemas, Gosset publicou seu trabalho sob o pseudônimo Student. E, por associação com o teste estatístico denominado "T", ficou conhecida como distribuição t-student (ou student's T, em inglês).
A função de densidade de probabilidades é dada por
| f(x) = | Γ[(ν+1)/2] (1 + x2/ν)−(ν+1)/2 | #A.1#. | |
| Γ(ν/2) √(πν) |
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| Figura 01 |
Γ(a) = ∫0...∞ xa − 1 e−x dx #A.2#.E o parâmetro ν é denominado número de graus de liberdade da distribuição.
A função de distribuição acumulada pode ser obtida por integração, mas aqui é omitida.
A Figura 01 ao lado exibe curvas aproximadas para as funções de distribuição acumulada e de densidade de probabilidades para ν = 2.
Média da distribuição t-student:
E(X) = 0 #B.1# se ν > 1 e indefinida caso contrário.Variância da distribuição t-student:
Var(X) = ν / (ν − 2) #C.1# se ν > 2 e indefinida caso contrário.A formulação original da distribuição publicada por William Gosset é dada por:
Sejam
X1, X2 ... Xn n variáveis independentes de uma amostra de uma população de média μ e variância σ2.| A média da amostra é | X = | ∑ Xi | O desvio-padrão é calculado por | s2 = | ∑ (Xi − X)2 | |
| n | n − 1 |
| A variável | Z = | X − μ | #D.1# tem distribuição t-student com n − 1 graus de liberdade. | |
| s / √n |
Outra formulação da distribuição t-student: sejam X e Y variáveis aleatórias independentes tais que
• X tem distribuição normal com média 0 e variância σ2
• Y2/σ2 tem distribuição χ2 (chi-quadrado) com n graus de liberdade.
| Então a variável | T = | X √n | #E.1# tem distribuição t-student com n graus de liberdade. | |
| Y |
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