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Probabilidades e estatística III-51

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Tabela para a distribuição chi-quadrado |

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Tabela para a distribuição chi-quadrado

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Figura 01

Este tópico apresenta uma tabela com alguns valores selecionados para a distribuição chi-quadrado.

A primeira coluna da tabela contém valores inteiros para o grau de liberdade ν da distribuição.

Os valores numéricos do cabeçalho (primeira linha) indicam as áreas à direita (A da Figura 01) para os valores de x nas colunas correspondentes.

ν / A	0,995	0,990	0,975	0,950	0,900	0,750	0,500	0,250	0,100	0,050	0,025	0,010	0,005
01	0,000	0,000	0,001	0,004	0,016	0,102	0,455	1,323	2,706	3,841	5,024	6,635	7,879
02	0,010	0,020	0,051	0,103	0,211	0,575	1,386	2,773	4,605	5,991	7,378	9,210	10,597
03	0,072	0,115	0,216	0,352	0,584	1,213	2,366	4,108	6,251	7,815	9,348	11,345	12,838
04	0,207	0,297	0,484	0,711	1,064	1,923	3,357	5,385	7,779	9,488	11,143	13,277	14,860
05	0,412	0,554	0,831	1,145	1,610	2,675	4,351	6,626	9,236	11,071	12,833	15,086	16,750
06	0,676	0,872	1,237	1,635	2,204	3,455	5,348	7,841	10,645	12,592	14,449	16,812	18,548
07	0,989	1,239	1,690	2,167	2,833	4,255	6,346	9,037	12,017	14,067	16,013	18,475	20,278
08	1,344	1,647	2,180	2,733	3,490	5,071	7,344	10,219	13,362	15,507	17,535	20,090	21,955
09	1,735	2,088	2,700	3,325	4,168	5,899	8,343	11,389	14,684	16,919	19,023	21,666	23,589
10	2,156	2,558	3,247	3,940	4,865	6,737	9,342	12,549	15,987	18,307	20,483	23,209	25,188
11	2,603	3,053	3,816	4,575	5,578	7,584	10,341	13,701	17,275	19,675	21,920	24,725	26,757
12	3,074	3,571	4,404	5,226	6,304	8,438	11,340	14,845	18,549	21,026	23,337	26,217	28,300
13	3,565	4,107	5,009	5,892	7,042	9,299	12,340	15,984	19,812	22,362	24,736	27,688	29,819
14	4,075	4,660	5,629	6,571	7,790	10,165	13,339	17,117	21,064	23,685	26,119	29,141	31,319
15	4,601	5,229	6,262	7,261	8,547	11,037	14,339	18,245	22,307	24,996	27,488	30,578	32,801
16	5,142	5,812	6,908	7,962	9,312	11,912	15,339	19,369	23,542	26,296	28,845	32,000	34,267
17	5,697	6,408	7,564	8,672	10,085	12,792	16,338	20,489	24,769	27,587	30,191	33,409	35,718
18	6,265	7,015	8,231	9,390	10,865	13,675	17,338	21,605	25,989	28,869	31,526	34,805	37,156
19	6,844	7,633	8,907	10,117	11,651	14,562	18,338	22,718	27,204	30,144	32,852	36,191	38,582
20	7,434	8,260	9,591	10,851	12,443	15,452	19,337	23,828	28,412	31,410	34,170	37,566	39,997
21	8,034	8,897	10,283	11,591	13,240	16,344	20,337	24,935	29,615	32,671	35,479	38,932	41,401
22	8,643	9,542	10,982	12,338	14,041	17,240	21,337	26,039	30,813	33,924	36,781	40,289	42,796
23	9,260	10,196	11,689	13,091	14,848	18,137	22,337	27,141	32,007	35,172	38,076	41,638	44,181
24	9,886	10,856	12,401	13,848	15,659	19,037	23,337	28,241	33,196	36,415	39,364	42,980	45,559
25	10,520	11,524	13,120	14,611	16,473	19,939	24,337	29,339	34,382	37,652	40,646	44,314	46,928
26	11,160	12,198	13,844	15,379	17,292	20,843	25,336	30,435	35,563	38,885	41,923	45,642	48,290
27	11,808	12,879	14,573	16,151	18,114	21,749	26,336	31,528	36,741	40,113	43,195	46,963	49,645
28	12,461	13,565	15,308	16,928	18,939	22,657	27,336	32,620	37,916	41,337	44,461	48,278	50,993
29	13,121	14,256	16,047	17,708	19,768	23,567	28,336	33,711	39,087	42,557	45,722	49,588	52,336
30	13,787	14,953	16,791	18,493	20,599	24,478	29,336	34,800	40,256	43,773	46,979	50,892	53,672

Exemplo 01: seja uma distribuição χ² com 10 graus de liberdade. Na linha ν = 10 e coluna A = 0,100 encontra-se 15,987.

Portanto, P( x > 15,987 ) = 0,100.

Exemplo 02: seja X₁, X₂, … , X_n uma amostra aleatória de uma população de distribuição normal com média μ e variância σ². Considerando n = 16 e uma estimativa da variância s_n² = (1/n) ∑ (X_i − X)², determinar a probabilidade

P(σ² / 2 ≤ s_n² ≤ 2 σ²).

Se, na desigualdade acima, o valor de s_n² for substituído e multiplicado tudo por n e dividido por σ²,

P[ n/2 ≤ (1 / σ²) ∑ (X_i − X)² ≤ 2 n ].

Fazendo a variável aleatória Y = (1 / σ²) ∑ (X_i − X)², pode-se verificar que, segundo Exemplo 01 da página anterior, Y tem distribuição χ²_n. Substituindo Y e n, a expressão anterior fica

P( 8 ≤ y ≤ 32) com Y~χ²₁₆. E, das relações simples de probabilidades,

P( 8 ≤ y ≤ 32) = P( y > 8 ) − P( y > 32 ).

Da tabela acima, para ν = 16 e x = 7,962 (≈ 8. É o "y" deste caso), A = 0,950. Para x = 32,000, obtém-se A = 0,010. E o resultado final é

P( 8 ≤ y ≤ 32) = P( y > 8 ) − P( y > 32 ) = 0,950 − 0,010 = 0,94.

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