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Distribuição chi-quadrado
| Topo pág | Fim pág |A distribuição chi-quadrado (χ2), é uma das mais usadas em processos de inferência estatística. É, na realidade, um caso particular da distribuição gama, com os parâmetros α = k / 2 e β = 1/2.
Uma variável aleatória X é dita ter distribuição χ2 com k graus de liberdade (k inteiro e positivo) se a função de densidade de probabilidades for dada por:
| f(x) = | 1 | (1/2)k/2 xk/2 − 1 e−x/2 | para x ≥ 0. | f(x) = 0 | para x < 0. #A.1# |
| Γ(k/2) |
Onde Γ é a função gama:
Γ(a) = ∫0...∞ xa − 1 e−x dx #A.2#.A função de distribuição acumulada é dada por:
| F(x) = P(X ≤ x) = ∫−∞...x f(t) dt = | γ(k/2, x/2) | #B.1#. |
| Γ(k/2) |
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| Figura 01 |
γ(a, x) = ∫0...x ta − 1 e−t dt #B.2#.É usual a notação seguinte para indicar uma variável aleatória X de distribuição chi-quadrado com parâmetro k:
X ~ χ2k #C.1#.A Figura 01 exibe gráficos aproximados para as funções de distribuição e de densidade para k = 3.
Média da distribuição chi-quadrado:
E(X) = k #D.1#.Variância da distribuição chi-quadrado:
Var(X) = 2k #E.1#.Notar que a distribuição chi-quadrado com dois graus de liberdade equivale a uma distribuição exponencial com λ = 1/2. É possível também verificar que, à medida que o valor de k aumenta, a distribuição chi-quadrado tende lentamente para a distribuição normal.
Teorema 01 (sem demonstração):
Seja
X1, X2...Xk um conjunto de k variáveis aleatórias independentes com distribuição normal padrão, isto é, média 0 e variância 1. Então a somaY = ∑i=0...k Xi2 #F.1# tem distribuição χ2 com k graus de liberdade.Essa relação com distribuição da soma dos quadrados é possivelmente a razão do nome chi-quadrado.
Exemplo 01: seja uma população com distribuição normal de média μ e variância σ2, isto é, X ~ N(μ, σ). Se
X1, X2...Xn é uma amostra aleatória dessa população, determinar a distribuição de| ∑i=1...n (Xi − μ)2 |
| σ2 |
Naturalmente, cada Xi tem distribuição da amostra, ou seja, Xi ~ N(μ, σ). Da distribuição normal, observa-se que
Yi = (Xi − μ) / σ tem distribuição normal padrão ou Yi ~ N(0, 1). Segundo teorema anterior,
| Y = ∑ Yi2 = | ∑i=1...n (Xi − μ)2 | #G.1# tem distribuição χ2n. |
| σ2 |
Exemplo 02: analisa-se agora a expressão
| n (X − μ)2 |
| σ2 |
da mesma população do exemplo 01.
Da página Probabilidades e estatística III-40, segundo a relação #B.8#,
E[ (X − μ)2 ] = σ2 / n, ou seja, a variância de (X − μ) é σ2 / n e, naturalmente, a média é zero porque E(X) = μ.Portanto,
Y = (X − μ) / √(σ2 / n) tem distribuição normal padrão N(0, 1). Então,| Y2 = | (X − μ)2 | = | n (X − μ)2 | #H.1# tem, segundo Teorema 01, distribuição χ21. |
| σ2/n | σ2 |
Exemplo 03: na expressão do exemplo 01, se substituída a média da população μ pela média da amostra X, ocorre (demonstração omitida):
| ∑i=1...n (Xi − X)2 | #I.1# tem distribuição χ2n − 1. |
| σ2 |
Como aplicação dessa relação, considera-se o estimador não tendencioso para a variância da amostra já visto em páginas anteriores:
| s2 = | ∑i=1...n (Xi − X)2 | #I.2#. |
| n − 1 |
Se introduzido esse valor na expressão anterior, conclui-se que
| (n − 1) s2 | #I.3# tem distribuição χ2n − 1. |
| σ2 |
Então, segundo #D.1#,
E[ (n − 1) s2 / σ2 ] = n − 1.E(s2) = σ2 #I.4#, confirmando o aspecto não polarizado do estimador.Usando agora #E.1# para a variância,
Var[ (n − 1) s2 / σ2 ] = 2 (n − 1).[ (n − 1)2 / σ4 ] Var(s2) = 2 (n − 1).| Var(s2) = | 2 σ4 | #I.5#. |
| n − 1 |
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