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Probabilidades e estatística III-40 Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Estimadores tendenciosos e não tendenciosos | Exemplo 01: média da distribuição normal | Exemplo 02: variância da distribuição normal |

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Estimadores tendenciosos e não tendenciosos

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Os métodos já vistos para determinação de estimadores não dão informações sobre a qualidade dos mesmos,isto é, os desvios em relação aos valores verdadeiros dos parâmetros estimados.

Uma forma simples de analisar é comparar a sua esperança com o parâmetro estimado. Portanto, se um estimador é tal que

E(θ^) = θ #A.1#, diz-se que é não tendencioso. Caso contrário, é um estimador tendencioso.

Exemplo 01: média da distribuição normal

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Seja uma amostra de n valores x1, x2 ... xn de uma população com distribuição normal. Já verificado que o estimador para a média é

μ^ = (1/n) ∑ (xi) = x.

Portanto, E(μ^) = E[ (1/n) ∑ (xi) ] = (1/n) ∑ E(xi).

Mas E(xi) = μ porque cada valor tem esperança da própria população.

E(μ^) = (1/n) ∑ μ = (1/n) n μ = μ, ou seja, a média da amostra x é um estimador não tendencioso para a média da população.

Exemplo 02: variância da distribuição normal

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Seja uma amostra de n elementos x1 ... xn #A.1#. Em primeiro lugar, são determinadas algumas relações auxiliares.

A média é x = (1/n) ∑ xi #B.1#. O quadrado da média é:

(x)2 = (1/n2) (∑ xi)2 = (1/n2) (∑xi2 + ∑i≠jxixj) #B.2#. O objetivo é determinar a esperança.

Considerando que as observações são independentes, E(xixj) = E(xi) E(xj) = μ2.

E(∑i≠jxixj) = ∑i≠j E(xixj) = n (n−1) μ2 #B.3#, porque, para i≠j, há n (n−1) termos.


A variância de cada elemento x_i é a variância da população σ². Considerando a propriedade da variância,

Var(xi) = σ2 = E(xi2) − μ2. Portanto, E(xi2) = σ2 + μ2 #C.1#.


Voltando à relação #B.2#,

E[ (x)2 ] = (1/n2) [∑E(xi2) + E(∑i≠jxixj)] = (1/n2) [nσ2 + nμ2 + n (n−1) μ2]. Simplificando,

E[ (x)2 ] = σ2/n + μ2 #D.1#.


Já visto que o estimador para a variância da população é:

σ^2 = (1/n) ∑(xi − x)2 = (1/n) ∑(xi2 − 2xxi + x2) = (1/n) ∑(xi2 − 2nxxi/n + x2).

σ^2 = (1/n) (∑xi2 − ∑2nxxi/n + ∑x2) = (1/n) (∑xi2 − 2nx∑xi/n + nx2).

Desde que x = ∑xi/n, a relação anterior é simplificada para:

σ^2 = (1/n) (∑xi2 − nx2) #E.1#. Determinando a esperança do estimador,

E(σ^2) = (1/n) ∑E(xi2) − (1/n) n E(x2). Considerando #C.1# e #D.1#,

E(σ^2) = (1/n) n (σ2 + μ2) − (σ2/n + μ2). Simplificando,

E(σ^2) = [ (n−1)/n ] σ2 ≠ σ2 #F.1#. É, portanto, um estimador tendencioso para a variância da população.

Entretanto, se σ^2 for multiplicado por n/(n−1), ocorre a igualdade e a fórmula

s2 =	∑(xi − x)2		#G.1#
	n − 1

é o estimador usual (e não tendencioso) para a variância da população.


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Referências: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods. http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/.

WOLFRAM MATHWORLD. http://mathworld.wolfram.com/.