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Estimador pontual - Método da máxima verossimilhança
| Topo pág | Fim pág |Seja uma variável aleatória X cuja distribuição estatística é dada pela função de densidade genérica:
f(x, θ1 ... θk) #A.1#. Onde θ1 ... θk são k parâmetros dessa função.Seja
{x1 ... xn} uma amostra de n elementos dessa população.A função de verossimilhança V é dada pelo produto:
V(x1 ... xn | θ1 ... θk) = ∏i=1...n f(xi, θ1 ... θk). #B.1#Em geral, usa-se o logaritmo porque o trabalho com soma é mais fácil:
ln V = ∑i=1...n ln f(xi, θ1 ... θk). #C.1#Os estimadores de máxima verossimilhança de
θ1 ... θk são obtidos pelos valores máximos de V ou de ln V. Usando a forma logarítmica anterior e considerando que o valor máximo está no ponto de derivada nula, pode-se dizer que θ1 ... θk formam a solução de um sistema de k equações tal que∂ ln V / ∂ θj = 0 para j = 1...k. #D.1#Exemplo 01: para a distribuição exponencial, a função de densidade é
f(x) = λ e− λ x ou f(x) = λ exp(− λ x).Há um único parâmetro (λ) para estimar. A função de verossimilhança é
V(x1 ... xn | λ) = ∏i=1...n λ exp( − λ xi) = λn exp( −λ ∑ xi).Aplicando o logaritmo,
ln V = n ln λ − λ ∑i=1...n xi.Derivando em relação a λ e igualando a zero,
∂ ln V / ∂λ = (n / λ) − ∑i=1...n xi = 0. Portanto,| λ^ | = | n | = | 1 | #E.1#. |
| ∑i=1...n xi | x |
Exemplo 02 (fonte: prova IRB 2004): Para uma amostra de tamanho 30 da distribuição de Poisson,
P(x, Θ) = e−Θ Θx / x!, onde x = 0, 1, 2 ...,encontrou-se soma 12 para os itens amostrais. Assinale a opção que corresponde à estimativa de máxima verossimilhança da probabilidade da Poisson se anular.
a) e−1/5 b) e−1/2 c) e−2/5 d) e−3/5 e) e−4/5
Solução:
ln V = ln ∏ (e−Θ Θx / x!) = ∑ ln (e−Θ Θx / x!) = − n Θ + (∑ x) ln Θ − ∑ ln(x!). Derivando,∂ (ln V) / ∂ Θ = − n + (∑ x) / Θ. Igualando a zero, obtém-se o estimador para Θ:Θ^ = (1/n) ∑ x #F.1#.Substituindo os valores dados,
Θ^ = (1/30) 12 = 2/5. Resposta presumível (c).Exemplo 03: para a distribuição normal,
f(x) = [ 1 / (σ √2π) ] e−(x − μ)² / (2 σ²) com os parâmetros μ e σ.A função de verossimilhança é dada por:
V(x1 ... xn | μ, σ) = ∏i=1...n f(xi, μ, σ) = [ 1 / (σ √ 2 π)n ] exp[ −(1/2) ∑i=1...n [ (xi − μ) / σ ]2 ].ln V = −(n/2) ln 2π − n ln σ − (1/2) ∑i=1, i=n [ (xi − μ) / σ ]2.Derivando em relação a μ e igualando a zero,
∂ ln V / ∂ μ = (1/σ2) ∑ (xi − μ) = 0.Derivando em relação a σ e igualando a zero,
∂ ln V / ∂ σ = n/σ + (1/σ3) ∑ [ (xi − μ) / σ ]2 = 0.Resolvendo essas equações, chega-se aos resultados:
μ^ = (1/n) ∑ (xi) = x. #G.1#σ^2 = (1/n) ∑ (xi − x)2. #G.2#Notar que, para este caso, os resultados são idênticos aos obtidos com o método dos momentos visto em página anterior.
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